Produkt von Kreisen/Exponentielle Parametrisierung/Zusammenhang in C/Horizontale Liftung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}\Psi _{\ell ,w}(0)=\left(1,\,\ldots ,\,1,\,w\right)\,.$

2. Es ist

   ${}\Psi _{\ell ,w}(2\pi )=\left(1,\,\ldots ,\,1,\,we^{2\pi {\mathrm {i} }z_{\ell }}\right)\,.$

3. Es ist klar, dass eine Liftung vorliegt. Zeige, dass ${}\Psi _{\ell ,w}$ eine horizontale Liftung längs ${}\psi _{\ell }$ ist.
4. Zeige, dass

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto \Psi _{\ell ,w}(1),$

   ${}{\mathbb {C} }$-linear ist.

5. Es sei

   $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,u\longmapsto \left(\varphi _{1}(u),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(u)\right)$

   eine stetig differenzierbare Kurve und ${}\psi \circ \varphi$ die zugehörige Kurve in ${}{\left(S^{1}\right)}^{n}$. Bestimme eine horizontale Liftung zu ${}\psi \circ \varphi$.

6. Zu ${}\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right)\in \in \mathbb {Z} ^{n}$ sei

   $\mathbb {R} \longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n},\,t\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }k_{1}t},\,\ldots ,\,e^{{\mathrm {i} }k_{n}t}\right),$

   und ${}\theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}$ die zugehörige Liftung mit

   ${}\theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}(0)=w\,.$

   Zeige, dass

   $\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{1}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\cong {\mathbb {C} }^{\times },\,\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right)\longmapsto {\left(w\mapsto \theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}(1)\right)},$

   ein Gruppenhomomorphismus ist.

Zur gelösten Aufgabe