Produkt von Kreisen/Exponentielle Parametrisierung/Zusammenhang in C/Horizontale Liftung/Aufgabe

Es sei ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ der komplexe Einheitskreis, zur Notationsvereinfachung verwenden wir im Folgenden komplexe Zahlen. Wir betrachten die Parametrisierung

$\psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n}=M,\,\left(t_{1},\,\ldots ,\,t_{n}\right)\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }t_{1}},\,\ldots ,\,e^{{\mathrm {i} }t_{n}}\right)$

des ${}n$-fachen Produktes des Einheitskreises mit sich. Es seien

$z_{\ell }=r_{\ell }+s_{\ell }{\mathrm {i} },\,\ell =1,\ldots ,n,$

fixierte komplexe Zahlen. Auf dem trivialen Vektorbündel

${\left(S^{1}\right)}^{n}\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n}$

sei ein linearer Zusammenhang ${}\nabla$ gegeben derart, dass der längs ${}\psi$ zurückgezogene Zusammenhang ${}\psi ^{*}\nabla$ durch die konstanten komplexen Christoffelsymbole ${}{\tilde {\Gamma }}_{\ell }=z_{\ell }$ gegeben sind, reell handelt es sich um

${}{\begin{pmatrix}{\tilde {\Gamma }}_{\ell 1}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{\ell 1}^{2}(t)\\{\tilde {\Gamma }}_{\ell 2}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{\ell 2}^{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{\ell }&-s_{\ell }\\s_{\ell }&r_{\ell }\end{pmatrix}}\,.$

Wir betrachten zu ${}\ell$ den Weg

$\psi _{\ell }\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n},\,t\longmapsto \left(1,\,\ldots ,\,1,\,e^{{\mathrm {i} }t},\,1,\,\ldots ,\,1\right),$

(der nichtkonstante Eintrag steht an der ${}\ell$-ten Stelle) und zu einem Punkt ${}w=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$ die Abbildungen

$\Psi _{\ell ,w}\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n}\times {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \left(\psi _{\ell }(t),\,we^{{\mathrm {i} }z_{\ell }t}\right).$

1. Bestimme ${}\Psi _{\ell ,w}(0)$.
2. Bestimme ${}\Psi _{\ell ,w}(2\pi )$.
3. Zeige, dass ${}\Psi _{\ell ,w}$ eine horizontale Liftung längs ${}\psi _{\ell }$ ist.
4. Zeige, dass

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto \Psi _{\ell ,w}(2\pi ),$

   ${}{\mathbb {C} }$-linear ist.

5. Es sei

   $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,u\longmapsto \left(\varphi _{1}(u),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(u)\right)$

   eine stetig differenzierbare Kurve und ${}\psi \circ \varphi$ die zugehörige Kurve in ${}{\left(S^{1}\right)}^{n}$. Bestimme eine horizontale Liftung zu ${}\psi \circ \varphi$.

6. Zu ${}\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right)\in \mathbb {Z} ^{n}$ sei

   $\mathbb {R} \longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n},\,t\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }k_{1}t},\,\ldots ,\,e^{{\mathrm {i} }k_{n}t}\right),$

   und ${}\theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}$ die zugehörige Liftung mit

   ${}\theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}(0)=w\,.$

   Zeige, dass

   $\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{1}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\cong {\mathbb {C} }^{\times },\,\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right)\longmapsto {\left(w\mapsto \theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}(2\pi )\right)},$

   ein Gruppenhomomorphismus ist.

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