Produkt von Maßräumen/Zwei Dichten/Produktdichte/Aufgabe

Es seien $(M,𝒜,\mu )$ und $(N,ℬ,\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume, und es seien

$g:M⟶ℝ$

und

$h:N⟶ℝ$

messbare nichtnegative integrierbare Funktionen mit den zu diesen Dichten gehörigen Maßen $g\mu$ und $h\nu$. Zeige, dass auf $M\times N$ das Produktmaß $(g\mu )\otimes (h\nu )$ mit dem Maß zur Dichte

$gh:M\times N⟶ℝ,(x,y)⟼g(x)h(y),$

bezüglich $\mu \otimes \nu$ übereinstimmt.

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