Produktmaßraum/Integration/Summe/Einzelne Funktionen/Aufgabe/Lösung

Wegen Fakt ist

${}\int _{M\times N}f+gd\mu \otimes \nu =\int _{M\times N}fd\mu \otimes \nu +\int _{M\times N}gd\mu \otimes \nu \,.$

Wir betrachten die beiden Summanden getrennt. Die Subgraphen von ${}f$ als Funktion auf ${}M$ bzw. auf ${}M\times N$ stehen miteinander in der Beziehung

${}{\begin{aligned}S(f,M\times M)&={\left\{(x,y,t)\mid 0\leq f(x,y)\leq t\right\}}\\&={\left\{(x,y,t)\mid 0\leq f(x)\leq t\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid 0\leq f(x)\leq t\right\}}\times N\\&=S(f,M)\times N.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{M\times N}fd\mu \otimes \nu &=\int _{M\times N}f_{+}d\mu \otimes \nu -\int _{M\times N}f_{-}d\mu \otimes \nu \\&={\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{+},M\times N)\right)}-{\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{-},M\times N)\right)}\\&={\left(\mu \otimes \lambda \otimes \nu \right)}{\left(S(f_{+},M)\times N\right)}-{\left(\mu \otimes \lambda \otimes \nu \right)}{\left(S(f_{-},M)\times N\right)}\\&={\left(\mu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{+},M)\right)}\cdot \nu (N)-{\left(\mu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{-},M)\right)}\cdot \nu (N)\\&={\left({\left(\mu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{+},M)\right)}-{\left(\mu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{-},M)\right)}\right)}\cdot \nu (N)\\&={\left(\int _{M}f_{+}d\mu -\int _{M}f_{-}d\mu \right)}\cdot \nu (N)\\&=\nu (N)\cdot \int _{M}fd\mu .\end{aligned}}$

Die entsprechende Rechnung für ${}g$ liefert das Resultat.

Zur gelösten Aufgabe