Produktmenge/Direktes Produkt/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $I$ eine Menge und zu jedem $i \in I$ sei eine Menge $M_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

M = \prod_{i \in I} M_{i} = {(x_{i})_{i \in I} : x_{i} \in M_{i} für alle i \in I}

die Produktmenge der $M_{i}$ .

Wenn alle $M_{i} = V_{i}$ Vektorräume über einem Körper $K$ sind, so handelt es sich hierbei mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation wieder um einen $K$ -Vektorraum. Man spricht dann vom direkten Produkt der Vektorräume. Wenn es sich immer um den gleichen Raum handelt, $M_{i} = V$ , so schreibt man dafür auch $V^{I}$ . Das ist einfach der Abbildungsraum $Abb (I, V)$ .

Den Vektorraum $V_{j}$ findet man im direkten Produkt als Untervektorraum wieder, und zwar als die Menge der Tupel

(x_{i})_{i \in I} mit x_{i} = 0 für alle i \neq j .

Die Menge all dieser, jeweils an nur einer Stelle von $0$ verschiedener, Tupel erzeugt einen Untervektorraum, der bei unendlichem $I$ nicht das ganze direkte Produkt ist.

Definition

Es sei $I$ eine Menge und $K$ ein Körper. Zu jedem $i \in I$ sei ein $K$ -Vektorraum $V_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

⨁_{i \in I} V_{i} = {(v_{i})_{i \in I} ∣ v_{i} \in V_{i}, v_{i} \neq 0 für nur endlich viele i}

die direkte Summe der $V_{i}$ .

Wenn es sich stets um den gleichen Vektorraum handelt, so schreibt man für diese direkte Summe $V^{(I)}$ . Es ist also

V^{(I)} \subseteq V^{I}

ein Untervektorraum. Bei endlichem $I$ gibt es keinen Unterschied, für unendliche Indexmengen kann die Inklusion aber echt sein. Beispielsweise ist $ℝ^{ℕ}$ der Folgenraum, dagegen besteht $ℝ^{(ℕ)}$ nur aus der Menge aller Folgen, für die nur endlich viele Glieder von $0$ verschieden sind. Der Polynomring $K [X]$ ist in diesem Sinne die direkte Summe aus den $K X^{n}, n \in ℕ$ . Jeder $K$ -Vektorraum mit einer Basis $v_{i}$ , $i \in I$ , ist isomorph zur direkten Summe $⨁_{i \in I} K v_{i}$ .