Produktmenge/Direktes Produkt/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der .

Wenn alle Vektorräume über einem Körper sind, so handelt es sich hierbei mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation wieder um einen -Vektorraum. Man spricht dann vom direkten Produkt der Vektorräume. Wenn es sich immer um den gleichen Raum handelt, , so schreibt man dafür auch . Das ist einfach der Abbildungsraum .

Den Vektorraum findet man im direkten Produkt als Untervektorraum wieder, und zwar als die Menge der Tupel

Die Menge all dieser, jeweils an nur einer Stelle von verschiedener, Tupel erzeugt einen Untervektorraum, der bei unendlichem nicht das ganze direkte Produkt ist.


Definition  

Es sei eine Menge und ein Körper. Zu jedem sei ein -Vektorraum gegeben. Dann nennt man die Menge

die direkte Summe der .

Wenn es sich stets um den gleichen Vektorraum handelt, so schreibt man für diese direkte Summe . Es ist also

ein Untervektorraum. Bei endlichem gibt es keinen Unterschied, für unendliche Indexmengen kann die Inklusion aber echt sein. Beispielsweise ist der Folgenraum, dagegen besteht nur aus der Menge aller Folgen, für die nur endlich viele Glieder von verschieden sind. Der Polynomring ist in diesem Sinne die direkte Summe aus den . Jeder -Vektorraum mit einer Basis , , ist isomorph zur direkten Summe .