Produktmenge/Projektion/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Kommentar

Wie im Kommentar zu Aufgabe erwähnt, fragt man sich bei jedem Konzept, wie sich das bei Produktmengen verhält. Bei der Äquivalenzrelation hat man dieselbe Frage. Sei also ${}(M_{i},\sim _{i}),\ i\in I$, eine Familie der Mengen, wobei ${}\sim _{i}$ eine Äquivalenzrelation auf ${}M_{i}$ ist. Man betrachtet die Relation ${}\sim$, die auf dem Produktmenge ${}\prod _{i\in I}M_{i}$ durch

$(x_{i})_{i\in I}\sim (y_{i})_{i\in I}{\text{ genau dann, wenn }}x_{i}\sim _{i}y_{i}{\text{ für alle }}i\in I$

definiert wird. Natürlich fragt man sich, ob ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist, und wenn ja, was dann die Äquivalenzklassen ${}[(x_{i})_{i\in I}]$ sind und wie die Quotientenmenge ${}\prod _{i\in I}M_{i}/\sim$ aussieht. Dies sind keine schwierigen Fragen. Per Definition sieht man leicht, dass ${}\sim$ tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist und es gilt

$[(x_{i})_{i\in I}]=\prod _{i\in I}[x_{i}].$

Für die letzte Frage betrachtet man die Abbildung

$f\colon \prod _{i\in I}M_{i}\longrightarrow \prod _{i\in I}(M_{i}/\sim _{i}),\,(x_{i})_{i\in I}\longmapsto ([x_{i}])_{i\in I},$

die offensichtlich surjektiv ist. Es ist klar, dass ${}\sim$ genau die durch ${}f$ definierte Äquivalenzrelation im Sinne von Fakt ist. Nach Aufgabe ist die Abbildung

$\psi \colon \prod _{i\in I}M_{i}/\sim \longrightarrow \prod _{i\in I}(M_{i}/\sim _{i})$

bijektiv. Daher kann man die Quotientenmenge ${}\prod _{i\in I}M_{i}/\sim$ mit der Produktmenge ${}\prod _{i\in I}(M_{i}/\sim _{i})$ identifizieren.

Diese Aufgabe ist ein Spezialfall der obigen Beobachtung, wobei ${}\sim _{1}$ die Gleichheit auf ${}M$ und ${}\sim _{2}$ die Allrelation auf ${}N$ (siehe Beispiel)

ist.

Zur kommentierten Aufgabe