Produktraum/Metrischer Raum/Produkttopologie/Aufgabe

Es seien ${}(M_{1},d_{1})$ und ${}(M_{2},d_{2})$ metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge ${}M_{1}\times M_{2}$ durch

${}d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\sqrt {d_{1}(x_{1},y_{1})^{2}+d_{2}(x_{2},y_{2})^{2}}}\,$

eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt.

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