Projektion weg von Punkt/Ebene/Generischer Grad/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten eine Gerade ${}V_{+}(L)$ durch den Punkt ${}P$ und das zugehörige affine Komplement

{}D_{+}(L)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,.

Ohne Einschränkung sei ${}P=(1,0,0)$ und ${}L=Z$ . Somit können wir annehmen, dass es um eine affine Projektion

{\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(Z),\,(x,y)\longmapsto y,

geht, und eine affine Kurve ${}V(F)$ vom Grad ${}d$ vorliegt, wobei die Potenz ${}X^{d}$ in ${}F$ vorkommt, da andernfalls ${}P\in C$ wäre. Wir betrachten das Polynom ${}F$ als

{}F=G_{d}X^{d}+G_{d-1}X^{d-1}+\cdots +G_{1}X+G_{0}\in K[Y][X]\subset K(Y)[X]\,.

Hierbei sind ${}G_{i}\in K[Y]$ , ${}G_{d}$ ist konstant. Da die Kurve irreduzibel ist, ist ${}G_{0}\neq 0$ bei ${}d\geq 2$ (bei ${}d=1$ versteht sich die Gesamtaussage von selbst). Wir müssen zeigen, dass für alle ${}y\in K$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Polynome

{}F(y)=G_{d}(y)X^{d}+G_{d-1}(y)X^{d-1}+\cdots +G_{1}(y)X+G_{0}(y)\,

${}d$ verschiedene Nullstellen haben. Da ${}F\in K(Y)[X]$ ein irreduzibles Polynom ist und wir in Charakteristik ${}0$ sind, ist ${}F$ separabel und somit sind ${}F$ und ${}F'$ teilerfremd, wobei ${}F'$ die formale Ableitung nach ${}X$ bezeichnet. Es gibt also Elemente ${}S,T\in K(Y)$ mit