Projektive Gerade/Absolute Höhe/Wurzeln aus 2/Beispiel

Wir betrachten in ${}{\mathbb {P} }_{}^{1}(\mathbb {Q} [{\sqrt[{d}]{2}}])$ den Punkt ${}({\sqrt[{d}]{2}},1)$. Der Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{d}]{2}}])$ ist ${}d$. Für einen Betrag ${}\vert {-}\vert _{v}$ auf ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{d}]{2}}]$ oberhalb des archimedischen Absolutbetrages ist ${}\vert {2}\vert _{v}=2$ und das ist auch die absolute Höhe (die man ja in diesem Fall direkt über ${}\mathbb {Q}$ ausrechnen kann). Die absolute Höhe von ${}({\sqrt[{d}]{2}},1)$ ist ${}{\sqrt[{d}]{2}}$ wegen der Potenzierungseigenschaft, siehe Fakt  (1). Ohne Gradbeschränkung gibt es also unendlich viele Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$ mit einer absoluten Höhe ${}\leq 2$.