Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt

Die absolute Höhe besitzt auf

${}{\overline {\mathbb {Q} }}={\mathbb {A} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}\subseteq {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}\,$

(es wird also  ${}x\in {\overline {\mathbb {Q} }}$  als  ${}(x,1)\in {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$  aufgefasst) folgende Eigenschaften.

1. Es ist  ${}H(x^{k})=H(x)^{k}$  für  ${}k\in \mathbb {N}$. 
2. Es ist  ${}H(xy)\leq H(x)H(y)$. 
3. Es ist  ${}H(x+y)\leq H(x)+H(y)$. 
4. Es ist  ${}H(x)=H(x^{-1})$  für  ${}x\neq 0$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen