Projektive Gerade/Algebraisch abgeschlossen/Polynom/Hauptdivisor/Summe 0/Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ über einem Körper ${}K$ sowie die affine Gerade

${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}=D_{+}(X)\cup \{\infty \}\,$

mit dem globalen Schnittring

${}K[{\frac {Y}{X}}]=K[t]\,.$

Zeige die folgenden Aussagen.

1. Der Hauptdivisor zu einem Polynom ${}P\in K[t]$ besitzt in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ keine negative Ordnung (keine Polstelle).
2. Die Ordnung von einem Polynom ${}P\in K[t]$ in ${}\infty$ ist das Negative des Grades von ${}P$.
3. Es sei ${}D=\sum _{P}n_{P}\cdot P$ und ${}K$ algebraisch abgeschlossen. Dann ist ${}D$ genau dann ein Hauptdivisor, wenn ${}\sum _{P}n_{P}=0$ ist.

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