Projektive Gerade/C/Flächenform/Beispiel

Wir betrachten auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Flächenform ${}{\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ bzw. ${}{\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}$ auf der affinen Standardüberdeckung ${}U$ bzw. auf ${}V$. Wegen

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\overline {dz^{-1}}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}\cdot {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{z^{2}{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\end{aligned}}$

stimmen die Flächenformen auf dem Durchschnitt überein, es handelt sich also um eine wohldefinierte positive Flächenform ${}\sigma$ auf der projektiven Geraden.

Wir verfolgen diese Form in der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

aus Fakt. Auf den beiden offenen Mengen ist die Flächenform ${}\sigma$ die äußere Ableitung einer ${}1$-Form. Auf ${}U$ ist nach Aufgabe

$-{\frac {1}{z}}\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}dz$

ein Urbild und auf ${}V$ entsprechend

${}{\begin{aligned}-{\frac {1}{w}}\arctan {\left(w{\overline {w}}\right)}dw&=-z\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz^{-1}\\&={\frac {1}{z}}\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz.\end{aligned}}$

Aufgrund der Potenzreihenentwicklung sind diese ${}1$-Formen jeweils auf ${}U$ bzw. auf ${}V$ definiert. Die Differenz der beiden Formen ist unter Verwendung von Aufgabe gleich

${}{\frac {1}{z}}{\left(\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}+\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}\right)}dz={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {dz}{z}}\,.$

In dieser Form beschreibt diese Differenz, aufgefasst als holomorphe Differentialform auf ${}U\cap V$ eine nichttriviale Kohomologieklasse in ${}H^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}})$.

Unter Verwendung von Aufgabe ist

${}{\begin{aligned}\int _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\sigma &=\int _{U}{\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&=-2{\mathrm {i} }\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{1+{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}dx\wedge dy\\&=-{\mathrm {i} }\pi ^{2}.\end{aligned}}$

Das Residuum der zugehörigen Kohomologieklasse ist somit

${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(-{\mathrm {i} }\pi ^{2}\right)}=-{\frac {\pi }{2}}\,.$