Projektive Gerade/C/Komplexe Mannigfaltigkeit/Beispiel

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Riemannova koule.svg

Auf der reell zweidimensionalen Sphäre erhält man über die stereographischen Projektionen ( und steht für Nordpol und Südpol)

und

die Übergangsabbildung

die komplex-differenzierbar ist und reell durch gegeben ist (bei den in Beispiel beschriebenen Projektionen muss man einmal komplex konjugieren, damit alles passt). Dadurch ist auf der Kugeloberfläche die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit gegeben. Diese heißt die komplex-projektive Gerade oder auch die riemannsche Zahlenkugel. Die Überdeckung mit den beiden zu biholomorphen offenen Mengen nennt man auch die affine Standardüberdeckung, siehe auch Fakt. Wenn man eine dieser offenen Mengen fixiert hat, so nennt man den einzigen fehlenden Punkt auch den unendlich fernen Punkt. In der anderen offenen Menge ist dieser der Nullpunkt.