Projektive Gerade/C/Komplexe Mannigfaltigkeit/Beispiel

Auf der reell zweidimensionalen Sphäre ${}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ erhält man über die stereographischen Projektionen (${}N$ und ${}S$ steht für Nordpol und Südpol)

$\alpha \colon S^{2}\setminus \{N\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$

und

$\beta \colon S^{2}\setminus \{S\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$

die Übergangsabbildung

${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{-1},$

die komplex differenzierbar ist und reell durch ${}(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\,{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\right)$ gegeben ist (bei den in Beispiel beschriebenen Projektionen muss man einmal komplex konjugieren, damit alles passt). Dadurch ist auf der Kugeloberfläche die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit gegeben. Diese heißt die komplex-projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ oder auch die riemannsche Zahlenkugel. Die Überdeckung mit den beiden zu ${}{\mathbb {C} }$ biholomorphen offenen Mengen nennt man auch die affine Standardüberdeckung, siehe auch Fakt. Wenn man eine dieser offenen Mengen fixiert hat, so nennt man den einzigen fehlenden Punkt auch den unendlich fernen Punkt. In der anderen offenen Menge ist dieser der Nullpunkt.