Projektive Gerade/C/Rationale Funktionen/Meromorphe Funktion/Beispiel

Wir betrachten

${}{\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {C} }\cup \{\infty \}={\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\,.$

Jedes nichtkonstante Polynom ${}p$ (aufgefasst als holomorphe Funktion auf ${}{\mathbb {C} }$) besitzt die Eigenschaft, dass der Limes ${}\operatorname {lim} _{\vert {z}\vert \rightarrow \infty }\,\vert {p(z)}\vert$ bestimmt gegen unendlich divergiert (siehe den Beweis zu Fakt). Somit ist jedes Polynom eine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden. Es folgt, dass überhaupt jede rationale Funktion ${}P/Q$ eine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden definiert. D.h. der Körper der rationalen Funktionen ${}{\mathbb {C} }(T)$ ist im Körper der meromorphen Funktionen auf der projektiven Geraden enthalten. In Fakt werden wir sehen, dass hier sogar Gleichheit gilt. Es ist andererseits einfach, meromorphe und auch holomorphe Funktionen auf ${}{\mathbb {C} }$ anzugeben, die auf der projektiven Geraden nicht meromorph sind. Beispielsweise definieren die komplexe Exponentialfunktion oder die komplexe Sinusfunktion keine meromorphe Funktion auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, da diese Funktionen für ${}\vert {z}\vert \rightarrow \infty$ kein einheitliches Limesverhalten haben (also weder gegen eine feste Zahl noch gegen unendlich gehen).