Projektive Gerade/Elliptische Kurve/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}K$ algebraisch abgeschlossen. Die elliptische Kurve ${}E$ liege in der Legendre-Form

${}y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\,$

vor. Es sei der Morphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow E,\,t\longmapsto \left(\varphi (t),\,\psi (t)\right),$

gegeben, der

${}\psi ^{2}(t)=\varphi (t)(\varphi (t)-1)(\varphi (t)-\lambda )\,$

erfüllt, wobei ${}\varphi ,\psi$ rationale Funktionen in ${}t$ sind. Wir multiplizieren mit der dritten Potenz des Nenners von ${}\varphi ={\frac {h}{g}}$ und können dann von einer Gleichung der Form

${}\psi ^{2}g^{3}=h(t)(h(t)-g(t))(h(t)-\lambda g(t))\,$

mit teilerfremden Polynomen ${}h,g$ in ${}t$ ausgehen. Eine Nullstelle von ${}g$ ist keine Nullstelle von ${}h$ und damit auch keine Nullstelle von ${}h-g$ und ${}h-\lambda g$.

Es sei ${}\psi ={\frac {r}{s}}$ gekürzt. Da in der obigen Gleichung rechts ein Polynom steht, muss sich ${}g^{3}$ gegen ${}s^{2}$ wegkürzen. Somit ist ${}s=\alpha ^{3}$ und ${}g=\beta \alpha ^{2}$ mit Polynomen ${}\alpha ,\beta$. Da die Nullstellen von ${}g$ rechts nicht auftreten, folgt ${}\beta =1$. Es liegt also die Situation

${}r^{2}=h(h-\alpha ^{2})(h-\lambda \alpha ^{2})\,$

vor. Eine Nullstelle links besitzt eine gerade Nullstellenordnung. Die Faktoren rechts haben keine gemeinsame Nullstelle, deshalb tritt in ihnen auch jede Nullstelle mit einer geraden Nullstellenordnung auf und deshalb liegen vier Quadrate

$\beta ^{2},\alpha ^{2},\beta ^{2}-\alpha ^{2},\beta ^{2}-\lambda \alpha ^{2}$

in ${}K[t]$ vor, die projektiv unabhängig voneinander sind. Aus Fakt folgt, dass es sich um Konstanten handelt.

Zur bewiesenen Aussage