Projektive Gerade/Riemannsche Fläche/Geschlecht 0/Fakt/Beweis

Beweis

Bei der affinen Standardüberdeckung

${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}=U\cup V\,$

mit  ${}U\cong {\mathbb {C} }$  und  ${}V\cong {\mathbb {C} }$  ist

${}U\cap V\cong {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,.$

Wegen Fakt und der entsprechenden Aussage für ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ können wir Fakt heranziehen. Eine erste Kohomologieklasse zur Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ wird somit durch eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ repräsentiert. Die Theorie der Laurent-Entwicklung auf einer punktierten Kreisscheibe sichert eine Darstellung

${}h(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n}=h_{+}+h_{-}\,,$

wobei

${}h_{+}=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n}\,$

den Nebenteil und

${}h_{-}=\sum _{n=-\infty }^{-1}c_{n}z^{n}\,$

den Hauptteil bezeichnet. Dabei ist ${}h_{+}$ eine holomorphe Funktion auf  ${}U={\mathbb {C} }$.  Mit  ${}z=w^{-1}$  ist die Funktion

${}h_{-}(z)=g(w^{-1})=\sum _{m\in \mathbb {N} _{+}}c_{-m}w^{m}\,$

holomorph fortsetzbar nach

${}w=0\,$

(also für ${}z=\infty$) mit dem Wert ${}0$. Somit ist ${}h$ die Differenz von auf ${}U$ bzw. auf ${}V$ definierten holomorphen Funktionen, was bedeutet, dass die Kohomologieklassse trivial ist.

Zur bewiesenen Aussage