Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Elemente seien jeweils aus einem Zahlkörper ${}K$ mit der Standardbetragsmenge ${}M_{K}$.

1. Man macht für jeden Betrag ${}v\in M_{K}$ die Fallunterscheidung, ob

   ${}\vert {x}\vert _{v}\geq 1\,$

   ist oder nicht. Dies gilt dann auch für ${}\vert {x^{k}}\vert _{v}^{n_{v}}$ und für ${}\vert {x^{k}}\vert _{v}^{n_{v}/\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}$, woraus die Aussage folgt.

2. Es sei ${}v$ ein Betrag. Bei ${}\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\},\max\{\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\geq 1$ ist die Aussage klar, ebenso wenn die beiden ${}v$-Faktoren ${}\leq 1$ sind. Sei also ${}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}>1>\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}}$. Dann ist

   ${}{\begin{aligned}\max\{\vert {xy}\vert _{v}^{n_{v}},1\}&=\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&\leq \max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\\&=\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \max\{\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\cdot \max\{\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}.\end{aligned}}$

3. Dies folgt durch eine Fallunterscheidung für die archimedischen und die nichtarchimedischen Beträge. Für die archimedischen Beträge verwendet man die Subadditivität des Potenzierens mit dem Exponenten

   ${}\alpha ={\frac {n_{v}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\leq 1\,.$

   Eine Fallunterscheidung entlang dem Vergleich zu ${}1$ ergibt

   ${}{\begin{aligned}\max\{\vert {x+y}\vert _{v}^{\alpha },1\}&\leq \max\{\vert {x}\vert _{v}^{\alpha }+\vert {y}\vert _{v}^{\alpha },1\}\\&\leq \max\{\vert {x}\vert _{v}^{\alpha },1\}+\max\{\vert {y}\vert _{v}^{\alpha },1\}.\end{aligned}}$

4. Wir vergleichen die Höhe bezüglich ${}K$. Nach Fakt ist

   ${}1=\prod _{v}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}=\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}>1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}<1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\,.$

   Somit ist

   ${}{\begin{aligned}H_{K}(x)&=\prod _{v}\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}>1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\\&={\left(\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}<1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\right)}^{-1}\\&={\left(\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}<1}\vert {x^{-1}}\vert _{v}^{n_{v}}\right)}\\&=\prod _{v,\,\vert {x^{-1}}\vert _{v}>1}\vert {x^{-1}}\vert _{v}^{n_{v}}\\&=\prod _{v}\max\{\vert {x^{-1}}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=H_{K}(x^{-1}).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage