Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Elemente seien jeweils aus einem Zahlkörper mit der Standardbetragsmenge .

  1. Man macht für jeden Betrag die Fallunterscheidung, ob

    ist oder nicht. Dies gilt dann auch für und für , woraus die Aussage folgt.

  2. Es sei ein Betrag. Bei ist die Aussage klar, ebenso wenn die beiden -Faktoren sind. Sei also . Dann ist
  3. Dies folgt durch eine Fallunterscheidung für die archimedischen und die nichtarchimedischen Beträge. Für die archimedischen Beträge verwendet man die Subadditivität des Potenzierens mit dem Exponenten

    Eine Fallunterscheidung entlang dem Vergleich zu ergibt

  4. Wir vergleichen die Höhe bezüglich . Nach Fakt ist

    Somit ist