Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Rationale Funktion/Abschätzung nach unten/Fakt/Beweis

Beweis

In der homogenen Realisierung des Morphismus seien ${}F_{0},F_{1}$ die teilerfremden homogenen Polynome vom Grad ${}d$ in den Variablen ${}X_{0},X_{1}$. Aufgrund der Teilerfremdheit erzeugen ${}F_{0}$ und ${}F_{1}$ in ${}{\overline {\mathbb {Q} }}[X,Y]$ das maximale Ideal bis auf das Radikal, d.h. es gibt mit dem Hilbertschen Nullstellensatz ein ${}e\geq d$ und Polynome ${}A_{ij}\in {\overline {\mathbb {Q} }}[X,Y]$ mit

${}X_{0}^{e}=A_{00}F_{0}+A_{01}F_{1}\,$

und

${}X_{1}^{e}=A_{10}F_{0}+A_{11}F_{1}\,.$

Hierbei können wir direkt ${}A_{ij}$ als homogen vom Grad ${}e-d$ annehmen. Ferner können wir durch eine endliche Körpererweiterung annehmen, dass alle Polynome über ${}K$ definiert sind.

Es sei ${}v\in M_{K}$ ein Betrag, wobei wir im nichtarchimedischen Fall ${}\delta =0$ und im archimedischen Fall ${}\delta =1$ setzen. Es sei ${}P=(x_{0},x_{1})\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ein Punkt. Es gilt dann

${}{\begin{aligned}\vert {x_{0}}\vert _{v}^{e}&=\vert {A_{00}(P)F_{0}(P)+A_{01}(P)F_{1}(P)}\vert _{v}\\&\leq 2^{\delta }\operatorname {max} \left(\vert {A_{00}(P)F_{0}(P)}\vert _{v},\,\vert {A_{01}(P)F_{1}(P)}\vert _{v}\right)\\&=2^{\delta }\operatorname {max} \left(\vert {A_{00}(P)}\vert _{v}\cdot \vert {F_{0}(P)}\vert _{v},\,\vert {A_{01}(P)}\vert _{v}\cdot \vert {F_{1}(P)}\vert _{v}\right)\\&\leq 2^{\delta }\operatorname {max} \left(\vert {A_{00}(P)}\vert _{v},\,\vert {A_{01}(P)}\vert _{v}\right)\cdot \operatorname {max} \left(\vert {F_{0}(P)}\vert _{v},\,\vert {F_{1}(P)}\vert _{v}\right)\end{aligned}}$

und entsprechend für ${}x_{1}^{e}$, was wir zu

${}{\begin{aligned}\operatorname {max} \left(\vert {x_{0}}\vert _{v}^{e},\,\vert {x_{1}}\vert _{v}^{e}\right)&\leq 2^{\delta }\operatorname {max} \left(\vert {A_{ij}(P)}\vert _{v}{|}ij\right)\cdot \operatorname {max} \left(\vert {F_{0}(P)}\vert _{v},\,\vert {F_{1}(P)}\vert _{v}\right)\\\end{aligned}}$

zusammenfassen.

Wir setzen

${}A_{v}=\operatorname {max} \left(\vert {a}\vert _{v}{|}a{\text{ ist Koeffizient von einem }}A_{ij}\right)\,.$

Da die ${}A_{ij}$ alle den Grad ${}e-d$ besitzen, kommt in ihnen eine bestimmte Anzahl, sagen wir ${}m$ an Monomen vor. Es gilt dann

${}{\begin{aligned}\vert {A_{ij}(P)}\vert _{v}&\leq \vert {\sum _{\mu }a_{ij,\mu }x_{0}^{\mu _{0}}x_{1}^{\mu _{1}}}\vert _{v}\\&\leq m^{\delta }\cdot \operatorname {max} \left(\vert {a_{ij,\mu }x_{0}^{\mu _{0}}x_{1}^{\mu _{1}}}\vert _{v}{|}\mu \right)\\&\leq m^{\delta }\cdot A_{v}\cdot \operatorname {max} \left(\vert {x_{0}^{e-d}}\vert _{v},\,\vert {x_{1}^{e-d}}\vert _{v}\right).\end{aligned}}$

Einsetzen der zweiten Abschätzung in die erste ergibt

${}{\begin{aligned}\operatorname {max} \left(\vert {x_{0}}\vert _{v}^{e},\,\vert {x_{1}}\vert _{v}^{e}\right)&\leq 2^{\delta }m^{\delta }\cdot A_{v}\cdot \operatorname {max} \left(\vert {x_{0}^{e-d}}\vert _{v},\,\vert {x_{1}^{e-d}}\vert _{v}\right)\cdot \operatorname {max} \left(\vert {F_{0}(P)}\vert _{v},\,\vert {F_{1}(P)}\vert _{v}\right)\\\end{aligned}}$

Multiplikation mit der positiven Zahl ${}\operatorname {max} \left(\vert {x_{0}}\vert _{v},\,\vert {x_{1}}\vert _{v}\right)^{d-e}$ ergibt die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\operatorname {max} \left(\vert {x_{0}}\vert _{v}^{d},\,\vert {x_{1}}\vert _{v}^{d}\right)&\leq 2^{\delta }\cdot m^{\delta }\cdot A_{v}\cdot \operatorname {max} \left(\vert {F_{0}(P)}\vert _{v},\,\vert {F_{1}(P)}\vert _{v}\right)\\\end{aligned}}$

Es gibt nur endlich viele archimedische Beträge, für die nichtarchimedischen Beträge werden die Faktoren ${}2^{\delta }\cdot m^{\delta }$ zu ${}1$ und bis auf endlich viele Beträge ist auch ${}A_{v}=1$, da die Koeffizienten aller ${}A_{ij}$ jeweils nur für endlich viele Beträge ${}\neq 1$ sind. Die Abschätzungen bleiben erhalten, wenn man die Potenzen zu den Exponenten ${}n_{v}$ nimmt und man kann dann das Produkt über alle Beträge nehmen. Schließlich geht man durch Wurzelziehen zur absoluten Höhe über.

Zur bewiesenen Aussage