Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition

Algebraische Funktion

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper,  ${}Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  eine projektive Varietät,  ${}U\subseteq Y$  eine offene Teilmenge und  ${}P\in U$  ein Punkt. Dann heißt eine Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$

algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt ${}P$, wenn es eine offene affine Umgebung

${}P\in V\subseteq U\,$

derart gibt, dass die auf ${}V$ eingeschränkte Funktion ${}f{|}_{V}$ algebraisch im Punkt ${}P$ ist. ${}f$ heißt algebraisch auf ${}U$, wenn ${}f$ in jedem Punkt aus ${}U$ algebraisch ist.