Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition

Algebraische Funktion

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ eine projektive Varietät, ${}U\subseteq Y$ eine offene Teilmenge und ${}P\in U$ ein Punkt. Dann heißt eine Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$

algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt ${}P$, wenn es eine offene affine Umgebung

${}P\in V\subseteq U\,$

derart gibt, dass die auf ${}V$ die eingeschränkte Funktion ${}f{|}_{V}$ algebraisch im Punkt ${}P$ ist. ${}f$ heißt algebraisch auf ${}U$, wenn ${}f$ in jedem Punkt aus ${}U$ algebraisch ist.