Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition

Algebraische Funktion

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper,  $Y\subseteq {\mathbb{P}}_K^n$  eine projektive Varietät,  $U\subseteq Y$  eine offene Teilmenge und  $P\in U$  ein Punkt. Dann heißt eine Funktion

$f:U⟶{𝔸}_K^1=K$

algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt $P$, wenn es eine offene affine Umgebung

$P\in V\subseteq U$

derart gibt, dass die auf $V$ eingeschränkte Funktion $f{|}_V$ algebraisch im Punkt $P$ ist. $f$ heißt algebraisch auf $U$, wenn $f$ in jedem Punkt aus $U$ algebraisch ist.