Projektive Varietät/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Fortsetzung/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Es sei . Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass alle zu gehören. Diese Multiplikation ändert nicht den projektiven Punkt. Da nach Fakt ein diskreter Bewertungsring ist, gilt dort mit einer Ortsuniformisierenden die Beziehung

    mit Einheiten . Es sei das Minimum der . Wir multiplizieren das Tupel mit und erhalten eine weitere Realisierung des gegebenen Punktes mit der verlangten Eigenschaft (nicht alle Koeffizienten gehören notwendigerweise zu , aber zu ). Von diesem Tupel kann man koeffizientenweise die Reduktion modulo nehmen. Da ein Koeffizient eine Einheit ist, ist auch die Reduktion eines Koeffizienten eine Einheit und so handelt es sich in der Tat um das homogene Koordinatentupel eines projektiven Punktes über . Wenn man eine weitere Realisierung des Punktes mit den verlangten Eigenschaften betrachtet, so unterscheiden sich diese um einen Faktor, der eine Einheit in und somit in ist. Daher definieren sie den gleichen projektiven Punkt über .

  2. Die projektive Varietät ist durch homogene Polynome mit Koeffizienten aus gegeben. Diese Polynome kann man modulo interpretieren. Aus folgt direkt, wenn die die Bedingungen aus (1) erfüllen und der Überstrich Restklassenbildung bezeichnet,

    also erfüllt der Punkt modulo die entsprechende Gleichung und gehört zu .