Projektive Varietät/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{Q}^{n}$ . Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass alle ${}a_{i}$ zu ${}R$ gehören. Diese Multiplikation ändert nicht den projektiven Punkt. Da ${}R_{\mathfrak {m}}$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring ist, gilt dort mit einer Ortsuniformisierenden ${}\pi \in R_{\mathfrak {m}}\subseteq Q$ die Beziehung
${}a_{i}=\pi ^{r_{i}}u_{i}\,$

mit Einheiten ${}u_{i}\in R_{\mathfrak {m}}$ . Es sei ${}r$ das Minimum der ${}r_{i}$ . Wir multiplizieren das Tupel mit ${}\pi ^{-r}$ und erhalten eine weitere Realisierung des gegebenen Punktes mit der verlangten Eigenschaft (nicht alle Koeffizienten gehören notwendigerweise zu ${}R$ , aber zu ${}R_{\mathfrak {m}}$ ). Von diesem Tupel kann man koeffizientenweise die Reduktion modulo ${}{\mathfrak {m}}$ nehmen. Da ein Koeffizient eine Einheit ist, ist auch die Reduktion eines Koeffizienten eine Einheit und so handelt es sich in der Tat um das homogene Koordinatentupel eines projektiven Punktes über ${}K$ . Wenn man eine weitere Realisierung des Punktes mit den verlangten Eigenschaften betrachtet, so unterscheiden sich diese um einen Faktor, der eine Einheit in ${}R_{\mathfrak {m}}$ und somit in ${}K$ ist. Daher definieren sie den gleichen projektiven Punkt über ${}K$ .
Die projektive Varietät ${}Y$ ist durch homogene Polynome mit Koeffizienten aus ${}R$ gegeben. Diese Polynome kann man modulo ${}{\mathfrak {m}}$ interpretieren. Aus ${}F\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)=0$ folgt direkt, wenn die ${}a_{i}$ die Bedingungen aus (1) erfüllen und der Überstrich Restklassenbildung bezeichnet,
${}{\overline {F\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)}}={\overline {F}}\left({\overline {a_{0}}},\,{\overline {a_{1}}},\,\ldots ,\,{\overline {a_{n}}}\right)=0\,,$

also erfüllt der Punkt modulo ${}{\mathfrak {m}}$ die entsprechende Gleichung und gehört zu ${}Y(K)$ .

Zur bewiesenen Aussage