Nenneraufnahme/Integritätsbereich/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge  ${}S\subseteq R$  heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

1.  ${}1\in S$, 
2. Wenn  ${}f,g\in S$,  dann ist auch  ${}fg\in S$, 

gelten.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}f\in R$  ein Element. Dann bilden die Potenzen ${}f^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ein multiplikatives System.

Definition

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System,  ${}0\notin S$.  Dann nennt man den Unterring

${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

die Nenneraufnahme zu ${}S$.

Für die Nenneraufnahme an einem Element ${}f$ schreibt man einfach ${}R_{f}$ statt ${}R_{\left\{f^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\right\}}$. Für den Begriff der Nenneraufnahme für beliebige kommutative Ringe, siehe Aufgabe.