Projektiver Raum/Hyperfläche/Kanonische Garbe/Grobe Klassifikation/Bemerkung

Fakt erlaubt eine grobe Klassifikation von glatten Hyperflächen

$Y=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb{P}}_K^n$

im projektiven Raum, je nachdem, ob in  ${\omega }_Y\cong {𝒪}_Y(d-n-1)$  der Twist $d-n-1$ negativ, gleich $0$ oder positiv ist. Bei  $n=2$,  also Kurven in der projektiven Ebene, liegt bei  $d=1,2$  eine projektive Gerade vor, bei  $d=3$,  wenn die kanonische Garbe trivial ist, eine elliptische Kurve und bei  $d\ge 4$  eine Kurve vom allgemeinen Typ. Bei  $n=3$,  also Flächen im projektiven Raum, liegt bei  $d=1$  eine projektive Ebene vor, bei  $d=2$  eine zu ${\mathbb{P}}_K^1\times {\mathbb{P}}_K^1$ isomorphe Fläche und bei  $d=3$  eine Fläche, die isomorph ist zu einer projektiven Ebene, auf der man sechs Punkte aufgeblasen hat. Jedenfalls hat man bei  $d\le 3$  eine sogenannte rationale Fläche, deren Funktionenkörper gleich dem rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist. Bei  $d=4$,  wenn die kanonische Garbe trivial ist, liegt eine sogenannte $K3$-Fläche vor. Bei  $d\ge 5$  hat man eine Fläche vom allgemeinen Typ.