Projektiver Raum/Hyperfläche/Kanonische Garbe/Grobe Klassifikation/Bemerkung

Fakt erlaubt eine grobe Klassifikation von glatten Hyperflächen

${}Y=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

im projektiven Raum, je nachdem, ob in ${}\omega _{Y}\cong {\mathcal {O}}_{Y}(d-n-1)$ der Twist ${}d-n-1$ negativ, gleich ${}0$ oder positiv ist. Bei ${}n=2$, also Kurven in der projektiven Ebene, liegt bei ${}d=1,2$ eine projektive Gerade vor, bei ${}d=3$, wenn die kanonische Garbe trivial ist, eine elliptische Kurve und bei ${}d\geq 4$ eine Kurve vom allgemeinen Typ. Bei ${}n=3$, also Flächen im projektiven Raum, liegt bei ${}d=1$ eine projektive Ebene vor, bei ${}d=2$ eine zu ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ isomorphe Fläche und bei ${}d=3$ eine Fläche, die isomorph ist zu einer projektiven Ebene, auf der man sechs Punkte aufgeblasen hat. Jedenfalls hat man bei ${}d\leq 3$ eine sogenannte rationale Fläche, deren Funktionenkörper gleich dem rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist. Bei ${}d=4$, wenn die kanonische Garbe trivial ist, liegt eine sogenannte ${}K3$-Fläche vor. Bei ${}d\geq 5$ hat man eine Fläche vom allgemeinen Typ.