Projektiver Raum/K-Punkt/Lokaler Ring/Unabhängig/Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}K$ und sei  ${}P=\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  ein Punkt davon mit  ${}a_{i},a_{j}\neq 0$,  also  ${}P\in D_{+}(X_{i})\cap D_{+}(X_{j})$.  Die affinen Koordinaten des Punktes in  ${}D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  sind ${}\left({\frac {a_{0}}{a_{i}}},\,{\frac {a_{1}}{a_{i}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{i-1}}{a_{i}}},\,{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{n}}{a_{i}}}\right)$ und die affinen Koordinaten des Punktes in  ${}D_{+}(X_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  sind ${}\left({\frac {a_{0}}{a_{j}}},\,{\frac {a_{1}}{a_{j}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{j-1}}{a_{j}}},\,{\frac {a_{j+1}}{a_{j}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{n}}{a_{j}}}\right)$. Wir setzen den Polynomring zu ${}D_{+}(X_{i})$ als  ${}S_{i}=K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},{\frac {X_{1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{i}}}]$  (als Unterring des rationalen Funktionenkörpers ${}K(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})$) und entsprechend den Polynomring zu ${}D_{+}(X_{j})$ als

${}S_{j}=K[{\frac {X_{0}}{X_{j}}},{\frac {X_{1}}{X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{j-1}}{X_{j}}},{\frac {X_{j+1}}{X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{j}}}]\,$

an. Zeige, dass der lokale Ring von ${}P$ in ${}D_{+}(X_{i})$ mit dem lokalen Ring von ${}P$ in ${}D_{+}(X_{j})$ als Unterring von ${}K(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})$ übereinstimmt.

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