Projektiver Raum/Noethersch/Kohärente Garbe/Twist/Von globalen Schnitten erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}{\mathcal {G}}{|}D_{+}(X_{i})\cong {\widetilde {M}}_{i}$ mit einem endlich erzeugten Modul ${}M_{i}$ über dem zu ${}D_{+}(X_{i})$ gehörenden Polynomring ${}R_{i}$. Für die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(1)$ ist der Invertierbarkeitsort zum globalen Schnitt ${}X_{i}$ nach Aufgabe gleich ${}D_{+}(X_{i})$. Für ein endliches ${}R_{i}$-Modulerzeugendensystem ${}s_{ij}$, ${}j\in J_{i}$, von ${}M_{i}$ gibt es nach Fakt  (2) einen (gemeinsamen) Exponenten ${}n$ derart, dass die ${}X_{i}^{n}s_{ij}$ von globalen Elementen aus ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {G}}(n)\right)}$ herrühren. Dies kann man für jedes ${}i$ machen und erhält somit ein ${}\ell$ derart, dass die globalen Schnitte aus ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {G}}(\ell )\right)}$ die Moduln auf der offenen affinen Überdeckung erzeugen. Dies gilt dann auch in allen Halmen und somit liegt globale Erzeugtheit vor.

Zur bewiesenen Aussage