Projektiver Raum/R oder C/Differenzierbar bzw. holomorph/Fakt/Beweis

Beweis

Topologische Mannigfaltigkeiten liegen aufgrund von Fakt vor. Wir betrachten zwei Kartengebiete ${}D_{+}(X_{i})$ und ${}D_{+}(X_{j})$ mit ${}i<j$. Nach Fakt wird der Kartenwechsel durch

$\varphi _{j}^{-1}\circ \varphi _{i}\colon {\mathbb {K} }^{n}\supseteq {\left\{\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)\mid u_{j}\neq 0\right\}}\longrightarrow {\left\{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)\mid v_{i}\neq 0\right\}}\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$

mit der Gesamtzuordnung

$\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)\longmapsto \left(u_{1},\ldots ,u_{i},\,1,\,u_{i+1},\ldots ,u_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {u_{1}}{u_{j}}},\ldots ,{\frac {u_{i}}{u_{j}}},\,{\frac {1}{u_{j}}},\ldots ,{\frac {u_{j-1}}{u_{j}}},\,{\frac {u_{j+1}}{u_{j}}},\ldots ,{\frac {u_{n}}{u_{j}}}\right)$

gegeben. Als rationale Abbildungen sind diese Kartenwechsel unendlich oft differenzierbar bzw. holomorph.

Zur bewiesenen Aussage