Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)\in K^{m+1}\subseteq L^{m+1}\,.$

Dann gilt für einen Betrag ${}w\in M_{L}$ die Einschränkung ${}\vert {x}\vert _{w}=\vert {x}\vert _{v}$ mit einem Betrag ${}v\in M_{K}$ und unter Verwendung von Fakt ergibt sich

${}{\begin{aligned}H_{L}(P)&=\prod _{w\in M_{L}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{w}^{n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{w}^{n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{w}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{w}^{n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{w}^{n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{w}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{w}},\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{w}},\ldots ,\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{\sum _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{\sum _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{\sum _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{v}d},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{v}d},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{v}d}\}\\&=H_{K}(P)^{d}.\,\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage