Projektives Spektrum/Getwistete Strukturgarbe/Cech-Beschreibung/Kegelabbildung/Aufgabe

Es sei ${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ ein standard-graduierter Ring mit der offenen Überdeckung

${}U=\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\setminus \{A_{+}\}=\bigcup _{i=1}^{n}D(X_{i})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}=X\,$

des punktierten Spektrums und der offenen Überdeckung

${}Y=\operatorname {Proj} {\left(A\right)}=\bigcup _{i=1}^{n}D_{+}(X_{i})\,$

des zugehörigen projektiven Spektrums. Sei ${}\ell \in \mathbb {Z}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Familie der Einheiten ${}X_{i}^{\ell }\in \left(\Gamma {\left(D(X_{i}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)^{\times }$, ${}i=1,\ldots ,n$, legt den Kozykel ${}X_{j}^{\ell }X_{i}^{-\ell }\in \left(\Gamma {\left(D(X_{i}X_{j}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)^{\times }$, ${}i<j$, fest, der die triviale invertierbare Garbe auf ${}U$ repräsentiert.
2. Den Kozykel aus (1) kann man als einen Kozykel auf dem projektiven Spektrum ${}Y$ auffassen.
3. Die invertierbare Garbe, die durch den Kozykel aus (2) auf ${}Y$ festgelegt ist, ist isomorph zur getwisteten Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{Y}(\ell )$ (oder aber zu ${}{\mathcal {O}}_{Y}(-\ell )$, hier gibt es eine Vorzeichenwahl).
4. Die zurückgezogene Garbe einer getwisteten Strukturgarbe unter der Kegelabbildung ${}U\rightarrow Y$ ist trivial.

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