Prozentrechnung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Ein Prozent ist .


Definition  

Ein Promille ist .

Der Bundeshaushalt von 2011
Cement Production 2010.png

Dafür gibt es spezielle Zeichen, und . Von der Definition her ist die Prozentrechnung ein Spezialfall des Rechnens mit rationalen Zahlen, und zwar von Dezimalbrüchen. Eine rationale Zahl zwischen und gibt den Anteil von einer gegebenen Grundgröße an. Diese Anteilsgröße wird in vielen alltäglichen Kontexten am besten durch einen Dezimalbruch angeben, da dieser eine unmittelbare Größenvorstellung mitliefert, da Dezimalbrüche untereinander einfach vergleichbar sind, wie in Bemerkung erwähnt wurde. Bei der Größenordnung will man es häufig gar nicht so genau wissen, sondern nur eine ungefähre Größenvorstellung haben. Deshalb werden viele Größenanteile in Hunderstel oder seltener in Tausendstel angegeben, wofür sich die Bezeichnungen Prozent und Promille eingebürgert haben. Die Prozentrechnung beschäftigt sich mit dem Rechnen von Größenangaben, die in Prozent gemacht werden. Prozentrechnung ist einfach, wenn man erkennt, dass es sich um Rechnungen mit rationalen Zahlen handelt. Dennoch gibt es einige, für die Prozentrechnung typische Formulierungen, bei denen man sich die zugrunde liegende mathematische Bedeutung erst klar machen muss. Im Prozentkontext werden die Angaben grundsätzlich nur mit einer gewissen Fehlergenauigkeit gemacht.

Wenn eine endliche Grundmenge und eine Teilmenge gegeben ist, so versteht man unter dem Anteil von in einfach den Quotienten der Anzahlen, also den Bruch

Diese Zahl liegt zwischen und . Wenn man daraus eine Prozentangabe machen will, so macht man die Umformung

Durch die Multiplikation mit dem Faktor kommt der Anteil, der ja eigentlich zwischen und liegt, in einen Zahlenbereich zwischen und , der für die meisten Menschen vertrauter ist (in einer solchen Situation ist die Prozentangabe unterhalb von , in vielen anderen Kontexten ist aber auch ein größerer Anteil sinnvoll). Überhaupt werden Prozentangaben nur in einer Größenordnung verwendet, in der sie suggestiv sind, wo also die Multiplikation mit dem Vorstellungsvermögen entgegenkommt. Ob man sagt, dass der Anteil von Gold an der Gesamtmasse des Universums gleich ist oder beträgt, macht keinen Unterschied.

Bemerkung  

Wenn eine Grundmenge gegeben ist und davon Anteile durch Prozente beschrieben werden, und die Anteile disjunkt zueinander sind, so muss man die Prozentangaben addieren, um den Gesamtanteil zu erhalten. Wenn beispielsweise die Inhaltsstoffe eines Getränkes in Prozent angegeben werden, sagen wir Wasser, Orangensaft, Himbersaft und Heidelbeersaft und Cola, so liegt der Fruchtsaftanteil wegen

bei Prozent. Die Gesamtsumme der Prozentwerte sollte sich auf addieren; da man bei Prozentangaben aber häufig gerundete Werte nimmt, muss das nicht immer stimmen.


Bemerkung  

Häufig ändert sich, auch in einem bestimmten Kontext, die Bezugsmenge bei verschiedenen Prozentangaben. Wenn beipielsweise die Lebenshaltungskosten prozentual nach Essen, Wohnung, Körperpflege, Vergnügen aufgelistet wird, so werden die Vergnügungskosten eventuell weiter prozentual unterteilt, nach Kino, Theater, Kneipe, Spielhölle, und diese Angaben beziehen sich dann häufig auf die Gesamtvergnügungskosten. Den prozentualen Anteil an den Gesamtlebenshaltungskosten vom Kino muss man dann ausrechnen, indem man die relativen Prozentangaben als Brüche interpretiert, diese miteinander multipliziert und daraus wieder einen Prozentwert macht. Wenn die Vergnügungskosten der Lebenshaltungskosten ausmachen und Kinobesuche an den Vergnügungskosten, so muss man

ausrechnen und erhält, dass die Kinobesuche der Lebenshaltungskosten ausmachen.


Bemerkung  

Wenn man zwei Mengen (Vermögen, Einwohnerzahl, ...) und der Größe nach vergleicht, so kann man das durch einen Anteil und als Prozent ausdrücken. Man muss dabei deutlich machen, welche Menge man als Grundmenge betrachten möchte. Wenn man als Grundmenge nimmt, so ist

und (bzw. in Prozent) beschreibt die Größe von in Bezug auf . Beispielsweise kann das Vermögen einer Person des Vermögens einer anderen Person betragen. Wenn man die Verhältnisgröße umgekehrt wissen möchte, also die Größe von in Bezug auf , so muss man den inversen Bruch berechnen. Um aus der ersten Prozentangabe die neue Prozentangabe zu erhalten, muss man invertieren und mit 10000 multiplizieren (!), also

Prozent. Die zweite Person hat also Prozent des Vermögens der ersten Person.


Wenn Angaben üblicherweise in Prozenten gemacht werden, wie beispielsweise das Ergebnis von Wahlen, so drückt man die Änderung zwischen zwei Wahlen durch Prozentpunkte aus, also nicht prozentual! Wenn die Partei vor vier Jahren erzielt hat und bei den neuen Wahlen erzielt, so spricht man von einem Verlust von Prozentpunkten.