Prozentrechnung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Prozent ist ${}{\frac {1}{100}}$.

Definition

Ein Promille ist ${}{\frac {1}{1000}}$.

Der Bundeshaushalt von 2011

Dafür gibt es spezielle Zeichen, ${}\%$ und ${}\,{}^{0\!}\!/\!_{00}$. Von der Definition her ist die Prozentrechnung ein Spezialfall des Rechnens mit rationalen Zahlen, und zwar mit Dezimalbrüchen. Eine rationale Zahl zwischen ${}0$ und ${}1$ gibt den Anteil von einer gegebenen Grundgröße an. Diese Anteilsgröße wird in vielen alltäglichen Kontexten am besten durch einen Dezimalbruch angeben, da dieser eine unmittelbare Größenvorstellung mitliefert, da Dezimalbrüche untereinander einfach vergleichbar sind, wie in Bemerkung erwähnt wurde. Bei der Größenordnung will man es häufig gar nicht so genau wissen, sondern nur eine ungefähre Größenvorstellung haben. Deshalb werden viele Größenanteile in Hunderstel oder seltener in Tausendstel angegeben, wofür sich die Bezeichnungen Prozent und Promille eingebürgert haben. Die Prozentrechnung beschäftigt sich mit dem Rechnen von Größenangaben, die in Prozent gemacht werden. Prozentrechnung ist einfach, wenn man erkennt, dass es sich um Rechnungen mit rationalen Zahlen handelt. Dennoch gibt es einige, für die Prozentrechnung typische Formulierungen, bei denen man sich die zugrunde liegende mathematische Bedeutung erst klar machen muss. Im Prozentkontext werden die Angaben grundsätzlich nur mit einer gewissen Fehlergenauigkeit gemacht.

Wenn eine endliche Grundmenge ${}G$ und eine Teilmenge ${}T\subseteq G$ gegeben ist, so versteht man unter dem Anteil von ${}T$ in ${}G$ einfach den Quotienten der Anzahlen, also den Bruch

${\frac {\#\left(T\right)}{\#\left(G\right)}}.$

Diese Zahl liegt zwischen ${}0$ und ${}1$. Wenn man daraus eine Prozentangabe machen will, so macht man die Umformung

${}{\frac {\#\left(T\right)}{\#\left(G\right)}}={\frac {{\#\left(T\right)}\cdot 100}{{\#\left(G\right)}\cdot 100}}={\frac {{\#\left(T\right)}\cdot 100}{\#\left(G\right)}}\cdot {\frac {1}{100}}={\frac {{\#\left(T\right)}\cdot 100}{\#\left(G\right)}}\cdot \%\,.$

Durch die Multiplikation mit dem Faktor kommt der Anteil, der ja eigentlich zwischen ${}0$ und ${}1$ liegt, in einen Zahlenbereich zwischen ${}0$ und ${}100$, der für die meisten Menschen vertrauter ist (in einer solchen Situation ist die Prozentangabe unterhalb von ${}100$, in vielen anderen Kontexten ist aber auch ein größerer Anteil sinnvoll). Überhaupt werden Prozentangaben nur in einer Größenordnung verwendet, in der sie suggestiv sind, wo also die Multiplikation mit ${}100$ dem Vorstellungsvermögen entgegenkommt. Ob man sagt, dass der Anteil von Gold an der Gesamtmasse des Universums gleich ${}2\cdot 10^{-23}$ ist oder ${}2\cdot 10^{-21}\%$ beträgt, macht keinen Unterschied.

Bemerkung  

Wenn eine Grundmenge gegeben ist und davon Anteile durch Prozente beschrieben werden, und die Anteile disjunkt zueinander sind, so muss man die Prozentangaben addieren, um den Gesamtanteil zu erhalten. Wenn beispielsweise die Inhaltsstoffe eines Getränkes in Prozent angegeben werden, sagen wir ${}80\%$ Wasser, ${}10\%$ Orangensaft, ${}5\%$ Himbersaft und ${}2\%$ Heidelbeersaft und ${}3\%$ Cola, so liegt der Fruchtsaftanteil wegen

${}10+5+2=17\,$

bei ${}17$ Prozent. Die Gesamtsumme der Prozentwerte sollte sich auf ${}100\%$ addieren; da man bei Prozentangaben aber häufig gerundete Werte nimmt, muss das nicht immer stimmen.

Bemerkung  

Häufig ändert sich, auch in einem bestimmten Kontext, die Bezugsmenge bei verschiedenen Prozentangaben. Wenn beipielsweise die Lebenshaltungskosten prozentual nach Essen, Wohnung, Körperpflege, Vergnügen aufgelistet wird, so werden die Vergnügungskosten eventuell weiter prozentual unterteilt, nach Kino, Theater, Kneipe, Spielhölle, und diese Angaben beziehen sich dann häufig auf die Gesamtvergnügungskosten. Den prozentualen Anteil an den Gesamtlebenshaltungskosten vom Kino muss man dann ausrechnen, indem man die relativen Prozentangaben als Brüche interpretiert, diese miteinander multipliziert und daraus wieder einen Prozentwert macht. Wenn die Vergnügungskosten ${}8\,\%$ der Lebenshaltungskosten ausmachen und Kinobesuche ${}30\,\%$ an den Vergnügungskosten, so muss man

${}0{,}08\cdot 0{,}3=0{,}024\,$

ausrechnen und erhält, dass die Kinobesuche ${}2{,}4\,\%$ der Lebenshaltungskosten ausmachen.

Bemerkung  

Wenn man zwei Mengen (Vermögen, Einwohnerzahl, ...) ${}A$ und ${}B$ der Größe nach vergleicht, so kann man das durch einen Anteil und als Prozent ausdrücken. Man muss dabei deutlich machen, welche Menge man als Grundmenge betrachten möchte. Wenn man ${}A$ als Grundmenge nimmt, so ist

${}{\#\left(B\right)}={\frac {\#\left(B\right)}{\#\left(A\right)}}\cdot {\#\left(A\right)}\,$

und ${}{\frac {\#\left(B\right)}{\#\left(A\right)}}$ (bzw. ${\frac {100\cdot {\#\left(B\right)}}{\#\left(A\right)}}\cdot \%$ in Prozent) beschreibt die Größe von ${}B$ in Bezug auf ${}A$. Beispielsweise kann das Vermögen einer Person ${}30\%$ des Vermögens einer anderen Person betragen. Wenn man die Verhältnisgröße umgekehrt wissen möchte, also die Größe von ${}B$ in Bezug auf ${}A$, so muss man den inversen Bruch ${}{\frac {\#\left(A\right)}{\#\left(B\right)}}$ berechnen. Um aus der ersten Prozentangabe die neue Prozentangabe zu erhalten, muss man invertieren und mit 10000 multiplizieren (!), also

${}{\frac {1}{30}}\cdot 10000={\frac {10000}{30}}={\frac {1000}{3}}=333,33\,$

Prozent. Die zweite Person hat also ${}333,33$ Prozent des Vermögens der ersten Person.

Wenn Angaben üblicherweise in Prozenten gemacht werden, wie beispielsweise das Ergebnis von Wahlen, so drückt man die Änderung zwischen zwei Wahlen durch Prozentpunkte aus, also nicht prozentual! Wenn die Partei vor vier Jahren ${}35\%$ erzielt hat und bei den neuen Wahlen ${}32\%$ erzielt, so spricht man von einem Verlust von ${}3$ Prozentpunkten.