Q/Intervallüberpflasterungen/R/Aufgabe/Lösung

Das muss nicht sein. Sei

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {Q}$

eine Bijektion zwischen den positiven natürlichen und den rationalen Zahlen. Zur rationalen Zahl ${}\varphi (n)$ definieren wir das umgebende Intervall durch ${}]\varphi (n)-{\frac {1}{n^{2}}},\varphi (n)+{\frac {1}{n^{2}}}[$. Diese Intervalle haben die Länge ${}{\frac {2}{n^{2}}}$ und daher ist dieSumme ihrer Längen,also ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\frac {2}{n^{2}}}$, beschränkt nach Beispiel.

Wegen der ${}\sigma$-Additivität des Borel-Lebesgue-Maßes kann diese Intervallfamilie nicht ganz ${}\mathbb {R}$ überdecken.

Zur gelösten Aufgabe