Quadratische Funktion/Zwei Variablen/Nullpunkt/Hauptkrümmungsrichtungen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Fakt, wobei im Nullpunkt der Vorfaktor gleich ${}1$ ist und somit die Weingartenabbildung direkt durch die Hesse-Matrix beschrieben wird. Die Hesse-Matrix der Funktion ist

${\begin{pmatrix}2a&c\\c&2b\end{pmatrix}},$

das charakteristische Polynom davon ist

${}{\begin{aligned}(t-2a)(t-2b)-c^{2}&=t^{2}-2(a+b)t+4ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-(a+b)^{2}+4ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-(a-b)^{2}-c^{2}.\end{aligned}}$

Die Eigenwerte (und dies sind die Hauptkrümmungen) sind also

${}\lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b\,.$

Bei ${}a=b$ und ${}c=0$ ist die Weingartenabbildung Multiplikation mit ${}2a$ und jeder Vektor ist ein Eigenvektor, sei dies jetzt ausgeschlossen. Für

${}\lambda _{1}={\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b\,$

ist der Kern der Matrix

${\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+b-a&-c\\-c&{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\end{pmatrix}}$

zu bestimmen, dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\\c\end{pmatrix}}.$

Eine Hauptkrümmungsrichtung ist also ${}{\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\\c\end{pmatrix}}$ mit der Hauptkrümmung ${}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b$.

Entsprechend ergibt sich die Hauptkrümmungsrichtung ${}{\begin{pmatrix}-c\\{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\end{pmatrix}}$ mit der Hauptkrümmung ${}-{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b$.

Zur gelösten Aufgabe