Differenzierbare Funktion/Graph/Hyperfläche/Weingartenabbildung/Fakt

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ eine offene Menge und sei ${}Y\subseteq V\times \mathbb {R}$ der Graph zu einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .$

Dann ist die Weingartenabbildung ${}L_{P}$ in einem Punkt ${}P=(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\in Y$ (zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld) durch ${}{\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\operatorname {Hess} _{}\,f$ gegeben, wobei ${}\operatorname {Hess} _{}\,f$ die Hesse-Matrix zu ${}f$ bezeichnet und wenn man Grundvektoren ${}v\in \mathbb {R} ^{n-1}$ mit den Tangentialvektoren aus ${}T_{P}Y$ im Sinne von Beispiel identifiziert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen