Quadratische Körpererweiterung/Q-linear/Normerhaltung/Konjugation/Aufgabe/Lösung

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Wir setzen

und betrachten die Multiplikation

Diese Abbildung ist ebenfalls -linear und bijektiv. Wegen

ist die Norm von gleich und somit ist

d.h. ist ebenfalls normerhaltend. Wir schreiben nun mit

als Hintereinanderschaltung. Die Abbildung ist ebenfalls -linear und normerhalten und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass auf abgebildet wird. Wir haben also zu zeigen, dass eine solche Abbildung die Identität oder die Konjugation ist. Nennen wir sie wieder . Es ist

mit . Die Normbedingung liefert

Ferner ist

und die Normbedingung liefert

Diese beiden Bedingungen ergeben zusammen

bzw. , also . Daraus ergibt sich

was der Identität bzw. der Konjugation entspricht.
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