Quadratische Körpererweiterung/Q-linear/Normerhaltung/Konjugation/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

${}h:=\varphi (1)\,$

und betrachten die Multiplikation

$\psi \colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto hx.$

Diese Abbildung ist ebenfalls ${}\mathbb {Q}$-linear und bijektiv. Wegen

${}N(h)=N(\varphi (1))=N(1)=1\,$

ist die Norm von ${}h$ gleich ${}1$ und somit ist

${}N(\psi (x))=N(hx)=N(h)N(x)=N(x)\,,$

d.h. ist ebenfalls normerhaltend. Wir schreiben nun mit ${}\varphi '=\psi ^{-1}\circ \varphi$

${}\varphi =\psi \circ \varphi '\,$

als Hintereinanderschaltung. Die Abbildung ${}\varphi '$ ist ebenfalls ${}\mathbb {Q}$-linear und normerhalten und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass ${}1$ auf ${}1$ abgebildet wird. Wir haben also zu zeigen, dass eine solche Abbildung die Identität oder die Konjugation ist. Nennen wir sie wieder ${}\varphi$. Es ist

${}\varphi ({\sqrt {D}})=r+s{\sqrt {D}}\,$

mit ${}r,s\in \mathbb {Q}$. Die Normbedingung liefert

${}-D=r^{2}-s^{2}D\,.$

Ferner ist

${}\varphi (1+{\sqrt {D}})=1+r+s{\sqrt {D}}\,$

und die Normbedingung liefert

${}1-D=(1+r)^{2}-s^{2}D\,.$

Diese beiden Bedingungen ergeben zusammen

${}(1+r)^{2}-s^{2}D=1+r^{2}-s^{2}D\,$

bzw. ${}2r=0$, also ${}r=0$. Daraus ergibt sich

${}s=\pm 1\,,$

was der Identität bzw. der Konjugation entspricht.

Zur gelösten Aufgabe