Quadratische Zahlbereiche/Normeuklidisch/Numerische Charakterisierung für negatives D/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) (3). Sei euklidisch mit euklidischer Funktion . Es sei , , keine Einheit, so gewählt, dass unter allen Nichteinheiten den minimalen Wert annimmt. Für jedes ist dann

Wegen der Wahl von bedeutet dies oder ist eine Einheit. Wir betrachten die Restklassenabbildung

Dabei ist . Ab gibt es nur die beiden Einheiten und , so dass das Bild von überhaupt nur aus besteht. Also ist nach Fakt

Bei hat nach Fakt jedes Element aus die Form () mit Norm . Damit ist (bei ) nur bei und möglich, doch dann liegt eine Einheit vor, im Widerspruch zur Wahl von . In diesem Fall verbleiben also nur die Möglichkeiten .

Bei hat nach Fakt jedes Element aus die Form () mit Norm . Damit ist bei die Bedingung wieder nur bei und möglich, so dass erneut eine Einheit vorliegt. Es verbleiben die Möglichkeiten .

(3) (2). Der Ganzheitsring ist genau dann normeuklidisch, wenn es zu jedem ein mit gibt. Dies bedeutet anschaulich, dass es zu jedem Punkt von stets Gitterpunke aus gibt mit einem Abstand kleiner als eins Im Fall ist und es liegt ein rechteckiges Gitter vor, wobei der maximale Abstand im Mittelpunkt eines Gitterrechteckes angenommen wird. Der Abstand zu jedem Eckpunkt ist dort , und dies ist nur für kleiner als eins.

Im Fall wird die komplexe Ebene überdeckt von kongruenten gleichschenkligen Dreiecken, mit einer Grundseite der Länge eins und Schenkeln der Länge , deren Eckpunkte jeweils Elemente aus sind. Der Punkt innerhalb eines solchen Dreiecks mit maximalem Abstand zu den Eckpunkten ist der Mittelpunkt des Umkreises, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Wir berechnen ihn für das Dreieck mit den Eckpunkten . Die Mittelsenkrechte zur Grundseite ist durch gegeben, und die Mittelsenkrechte zum linken Schenkel wird durch beschrieben. Gleichsetzen ergibt

Damit ist die zweite Koordinate gleich und der gemeinsame Abstand zu den drei Eckpunkten ist die Wurzel aus

Dies (und ebenso die Quadratwurzel) ist kleiner als genau dann, wenn ist, was genau bei der Fall ist und den Möglichkeiten entspricht.

(2) (1) ist trivial.

Zur bewiesenen Aussage