Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Klassengruppe/Beispiel

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$, also ${}D=-5$ und ${}\triangle =-20$. Jede Idealklasse enthält ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ der Norm

${}N({\mathfrak {a}})\leq {\frac {2{\sqrt {20}}}{\pi }}\,,$

sodass nur Ideale mit Norm ${}2$ zu betrachten sind. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ mit ${}N({\mathfrak {a}})=2$ ist ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(2)$. Daher ist

${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})=(2,1-{\sqrt {-5}})\,$

die einzige Möglichkeit. Nach Beispiel ist ${}{\mathfrak {p}}$ kein Hauptideal. Daher ist die Idealklassengruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2)$, wobei das Nullelement durch die Hauptdivisoren (oder Hauptideale) repräsentiert wird und das andere Element durch ${}{\mathfrak {p}}$.