Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Klassengruppe/Beispiel

Es sei  ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$,  also  ${}D=-5$  und  ${}\triangle =-20$.  Jede Idealklasse enthält nach Fakt ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ der Norm

${}N({\mathfrak {a}})\leq {\frac {2{\sqrt {20}}}{\pi }}\,,$

sodass nur Ideale mit Norm ${}2$ zu betrachten sind. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ mit  ${}N({\mathfrak {a}})=2$  ist ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit  ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(2)$.  Daher ist

${}{\mathfrak {p}}={\left(2,1+{\sqrt {-5}}\right)}={\left(2,1-{\sqrt {-5}}\right)}\,$

die einzige Möglichkeit. Nach Beispiel ist ${}{\mathfrak {p}}$ kein Hauptideal. Daher ist die Idealklassengruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2)$, wobei das Nullelement durch die Hauptdivisoren (oder Hauptideale) repräsentiert wird und das andere Element durch ${}{\mathfrak {p}}$.