Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R$ zu  ${}D=-5$  das Ideal

${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$

Wir behaupten, dass es kein Hauptideal ist und verwenden dabei, dass die Norm dieses Ideals nach Beispiel gleich ${}2$ ist. Wäre nämlich  ${}{\mathfrak {p}}=(f)$  mit einem  ${}f\in R$,  so müsste nach Fakt auch

${}\vert {N(f)}\vert =2\,$

gelten. Allerdings ist die Norm von  ${}f=a+b{\sqrt {-5}}$  gleich  ${}N(f)=a^{2}+5b^{2}$  und dies kann nicht gleich ${}2$ sein.