Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Hauptdivisorberechnung/Beispiel

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Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich zu , also , das Ideal

Nach Beispiel ist dies kein Hauptideal. Wir wollen die Hauptdivisoren zu den beiden Idealerzeugern und berechnen. Der erste Schritt ist dabei, die Primideale oberhalb des Elementes zu bestimmen, was am einfachsten durch eine Restklassenbetrachtung geschieht. Der Restklassenring modulo ist

Dies ist ein nichtreduzierter Ring mit nur einem maximalen Ideal. In der Lokalisierung gilt

was zeigt, dass dort ein Erzeuger des maximalen Ideals ist und dass die Ordnung von dort gleich ist. Deshalb gilt

Wegen

ist auch noch im Primideal enthalten und besitzt dort ebenfalls die Ordnung . Daher ist