Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Hauptdivisorberechnung/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich $R$ zu  $D=-5$,  also  $R=A_{-5}=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\mathbb{Z}[X]/(X^2+5)$,  das Ideal

$𝔭=(2,1+\sqrt{-5}).$

Nach Beispiel ist dies kein Hauptideal. Wir wollen die Hauptdivisoren zu den beiden Idealerzeugern $2$ und $1+\sqrt{-5}$ berechnen. Der erste Schritt ist dabei, die Primideale oberhalb dieser Elemente zu bestimmen, was am einfachsten durch eine Restklassenbetrachtung geschieht. Der Restklassenring modulo $2$ ist

$R/(2)=\mathbb{Z}[X]/(X^2+5,2)=\mathbb{Z}/(2)[X]/(X^2+5)=\mathbb{Z}/(2)[X]/(X^2+1)=\mathbb{Z}/(2)[X]/(X+1{)}^2.$

Dies ist ein nichtreduzierter Ring mit nur einem maximalen Ideal. In der Lokalisierung $R_{(2,1+\sqrt{-5})}$ gilt

$2=\frac{1}{(-2+\sqrt{-5})}{(1+\sqrt{-5})}^2,$

was zeigt, dass $1+\sqrt{-5}$ dort ein Erzeuger des maximalen Ideals ist und dass die Ordnung von $2$ dort gleich $2$ ist. Deshalb gilt

$\mathrm{div}\left(2\right)=2𝔭.$

Wegen

$R/(1+\sqrt{-5})=\mathbb{Z}[X]/(X^2+5,1+X)=\mathbb{Z}/(6)=\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(3)$

ist $1+\sqrt{-5}$ auch noch im Primideal  $𝔮=(3,1+\sqrt{-5})$  enthalten und besitzt dort ebenfalls die Ordnung $1$. Daher ist

$\mathrm{div}(1+\sqrt{-5})=𝔭+𝔮.$