Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl, sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal.

Dann gibt es ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$, ${}f\neq 0$, mit der Eigenschaft

${}{|N(f)|}\leq {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}{\sqrt {{|}\triangle {|}}}N({\mathfrak {a}})&{\text{ bei }}\,D<0,\\{\frac {1}{2}}{\sqrt {{|}\triangle {|}}}N({\mathfrak {a}})&{\text{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen