Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wollen den Gitterpunktsatz von Minkowski auf das Gitter ${}\Gamma =\Gamma _{\mathfrak {a}}$ anwenden, das in Fakt konstruiert wurde. Nach Fakt hat die Grundmasche des Gitters den Flächeninhalt ${}{\frac {{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})}{2}}$.

Sei ${}D<0$. Als Menge ${}T$ betrachten wir den Kreis um den Nullpunkt mit Radius ${}{\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})}}$. Der Kreis ist kompakt, zentralsymmetrisch und konvex, und sein Flächeninhalt ist bekanntlich ${}2{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$. Dies ist so groß wie das Vierfache des Flächeninhalts der Grundmasche des Gitters, der in Fakt berechnet wurde. Also gibt es einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt ${}x\in \Gamma \cap T$, und ${}x=\varphi (f)$ mit ${}f\in {\mathfrak {a}}$. Die Norm von ${}f$ (also das Quadrat des komplexen Betrags) ist dann ${}N(f)\leq {\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$, wie behauptet.

Sei nun ${}D>0$. Für einen Punkt ${}x=(x_{1},x_{2})=(y_{1},y_{2}{\sqrt {D}})$ (mit $y_{1},y_{2}\in {\mathbb {Q} }$) besitzt das Element ${}y=\varphi ^{-1}(x)$ (aus $Q(A_{D})$) die Norm

${}N(y)=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}D=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})\,.$

Die Bedingung

${}\vert {N(y)}\vert =\vert {(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}\vert =c\,$

beschreibt somit vier gedrehte Hyperbeln, die jeweils eine Achse senkrecht schneiden. Diese Hyperbeln schließen das (konvexe, kompakte, zentralsymmetrische) Quadrat mit den Eckpunkten ${}(\pm {\sqrt {c}},\pm {\sqrt {c}})$ ein. Wir setzen ${}c:={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$. Dann hat das Quadrat ${}T$ mit diesen Eckpunkten den Flächeninhalt ${}2{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$ und enthält nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt ${}x\in \Gamma _{\mathfrak {a}}\cap T$. Dieser entspricht einem Element ${}f\in {\mathfrak {a}}$, ${}f\neq 0$, und

${}\vert {N(f)}\vert =\vert {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}\vert \leq x_{1}^{2}\leq c={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})\,.$

Zur bewiesenen Aussage