Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wollen den Gitterpunktsatz von Minkowski auf das Gitter  ${}\Gamma =\Gamma _{\mathfrak {a}}$  anwenden, das in Bemerkung konstruiert wurde. Nach Fakt hat die Grundmasche des Gitters den Flächeninhalt ${}{\frac {{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})}{2}}$.

Es sei  ${}D<0$.  Als Menge ${}T$ betrachten wir den Kreis um den Nullpunkt mit Radius ${}{\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})}}$. Der Kreis ist kompakt, zentralsymmetrisch und konvex, und sein Flächeninhalt ist bekanntlich ${}2{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$. Dies ist so groß wie das Vierfache des Flächeninhalts der Grundmasche des Gitters, der in Fakt berechnet wurde. Also gibt es einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt  ${}x\in \Gamma \cap T$,  und  ${}x=\varphi (f)$  mit  ${}f\in {\mathfrak {a}}$.  Die Norm von ${}f$ (also das Quadrat des komplexen Betrags) ist dann  ${}N(f)\leq {\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$,  wie behauptet.

Es sei nun  ${}D>0$.  Für einen Punkt  ${}x=(x_{1},x_{2})=(y_{1},y_{2}{\sqrt {D}})$  (mit ${}y_{1},y_{2}\in \mathbb {Q}$) besitzt das Element  ${}y=\varphi ^{-1}(x)$  (aus $Q(A_{D})$) die Norm

${}N(y)=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}D=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})\,.$

Die Bedingung

${}\vert {N(y)}\vert =\vert {(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}\vert =c\,$

beschreibt somit vier gedrehte Hyperbeln, die jeweils eine Achse senkrecht schneiden. Diese Hyperbeln schließen das (konvexe, kompakte, zentralsymmetrische) Quadrat mit den Eckpunkten ${}(\pm {\sqrt {c}},\pm {\sqrt {c}})$ ein, das die Hyperbeläste auf den Achsen berührt. Wir setzen  ${}c:={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$.  Dann hat das Quadrat ${}T$ mit diesen Eckpunkten die Seitenlänge ${}2{\sqrt {c}}$ und den Flächeninhalt ${}2{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$ und enthält nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt  ${}x\in \Gamma _{\mathfrak {a}}\cap T$.  Dieser entspricht einem Element ${}f\in {\mathfrak {a}}$, ${}f\neq 0$, und

${}\vert {N(f)}\vert =\vert {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}\vert \leq x_{1}^{2}\leq c={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})\,.$

Zur bewiesenen Aussage