Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir wollen den Gitterpunktsatz von Minkowski auf das Gitter anwenden, das in Fakt konstruiert wurde. Nach Fakt hat die Grundmasche des Gitters den Flächeninhalt .

Sei . Als Menge betrachten wir den Kreis um den Nullpunkt mit Radius . Der Kreis ist kompakt, zentralsymmetrisch und konvex, und sein Flächeninhalt ist bekanntlich . Dies ist so groß wie das Vierfache des Flächeninhalts der Grundmasche des Gitters, der in Fakt berechnet wurde. Also gibt es einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt , und mit . Die Norm von (also das Quadrat des komplexen Betrags) ist dann , wie behauptet.

Sei nun . Für einen Punkt (mit ) besitzt das Element (aus ) die Norm

Die Bedingung

beschreibt somit vier gedrehte Hyperbeln, die jeweils eine Achse senkrecht schneiden. Diese Hyperbeln schließen das (konvexe, kompakte, zentralsymmetrische) Quadrat mit den Eckpunkten ein. Wir setzen . Dann hat das Quadrat mit diesen Eckpunkten den Flächeninhalt und enthält nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt . Dieser entspricht einem Element , , und

Zur bewiesenen Aussage