Wir wollen
den Gitterpunktsatz von Minkowski
auf das Gitter
anwenden, das in
Fakt
konstruiert wurde. Nach
Fakt
hat die Grundmasche des Gitters den Flächeninhalt
.
Sei
.
Als Menge
betrachten wir den Kreis um den Nullpunkt mit Radius
. Der Kreis ist
kompakt,
zentralsymmetrisch
und
konvex,
und sein Flächeninhalt ist bekanntlich
. Dies ist so groß wie das Vierfache des Flächeninhalts der Grundmasche des Gitters, der in
Fakt
berechnet wurde. Also gibt es einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt
, und
mit
.
Die
Norm
von
(also das Quadrat des komplexen Betrags)
ist dann
,
wie behauptet.
Sei nun
.
Für einen Punkt
(mit
)
besitzt das Element
(aus
)
die Norm
-

Die Bedingung
-

beschreibt somit vier gedrehte Hyperbeln, die jeweils eine Achse senkrecht schneiden. Diese Hyperbeln schließen das
(konvexe, kompakte, zentralsymmetrische)
Quadrat mit den Eckpunkten
ein. Wir setzen
.
Dann hat das Quadrat
mit diesen Eckpunkten den Flächeninhalt
und enthält nach
dem Gitterpunktsatz von Minkowski
einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt
. Dieser entspricht einem Element
,
,
und
-
