Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Gitter-Einbettung/Beispiel

Es sei  $D<0$  quadratfrei und $A_D$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Dann liefert eine fixierte Einbettung  $A_D\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{D}]\subseteq ℂ\cong {ℝ}^2$  direkt eine Realisierung als Gitter im Sinne von Fakt. Dem Element  $q_1+q_2\sqrt{D}=q_1+q_2\sqrt{|D|}\mathrm{i}$  entspricht in der reellen Ebene das Element  $\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\sqrt{-D})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\sqrt{|D|})\end{array}\right)$.  Die Ganzheitsbasis $1,\sqrt{D}$ bei  $D=2,3mod4$  bzw. $1,\frac{1+\sqrt{D}}{2}$ bei  $D=1mod4$  (vergleiche Fakt) wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die reelle Ganzheitsmatrix

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sqrt{|D|}\end{array}\right)$

bzw.

$\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{|D|}}{2}\end{array}\right)$

abgebildet.