Quadratischer Zahlbereich/Kähler-Modul/Fakt/Beweis

Beweis

Im ersten Fall ist nach Fakt  ${}R\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}-D\right)}$  und daher nach Fakt

${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdX/d{\left(X^{2}-D\right)}=RdX/2XdX\cong R/2X=R/2{\sqrt {D}}\,.$

Im zweiten Fall ist

${}R\cong \mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}\,$

mit  ${}Y={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$.  Somit ist

${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdY/d{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}=RdY/(2Y-1)dY=RdY/{\sqrt {D}}dY\cong R/{\sqrt {D}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage