Quadratischer Zahlbereich/Kähler-Modul/Fakt/Beweis

Beweis

Im ersten Fall ist nach Fakt  $R\cong \mathbb{Z}[X]/(X^2-D)$  und daher nach Fakt

${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}=RdX/d(X^2-D)=RdX/2XdX\cong R/2X=R/2\sqrt{D}.$

Im zweiten Fall ist

$R\cong \mathbb{Z}[Y]/(Y^2-Y-\frac{D-1}{4})$

mit  $Y=\frac{1+\sqrt{D}}{2}$.  Somit ist

${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}=RdY/d(Y^2-Y-\frac{D-1}{4})=RdY/(2Y-1)dY=RdY/\sqrt{D}dY\cong R/\sqrt{D}.$

Zur bewiesenen Aussage