Quadratisches Polynom/R/3 Variablen/Variablenwechsel/1/Beispiel

Wir betrachten die quadratische Form

${\frac {3}{2}}x^{2}+2y^{2}+2xy-2yz.$

Die zugehörige symmetrische Matrix ist

${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}.$

Wir möchten eine Orthonormalbasis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ finden, bezüglich der die Form Diagonalgestalt besitzt. Dazu müssen wir die Eigenwerte (Hauptwerte) der Matrix bestimmen. Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}X-{\frac {3}{2}}&-1&0\\-1&X-2&1\\0&1&X\end{pmatrix}}&={\left(X-{\frac {3}{2}}\right)}{\left(X^{2}-2X-1\right)}-X\\&=X^{3}-{\frac {7}{2}}X^{2}+X+{\frac {3}{2}}\\&=(X-1){\left(X^{2}-{\frac {5}{2}}X-{\frac {3}{2}}\right)}\\&=(X-1)(X-3){\left(X+{\frac {1}{2}}\right)},\end{aligned}}$

die Eigenwerte sind also

$1,3,-{\frac {1}{2}}.$

Die zugehörigen Hauptgeraden berechnen sich folgendermaßen.

Zu ${}x=1$ ist der Kern der Matrix

${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-1&0\\-1&-1&1\\0&1&1\end{pmatrix}}$

gleich ${}{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}$, ein normierter Erzeuger ist

${\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}.$

Zu ${}x=3$ ist der Kern der Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&-1&0\\-1&1&1\\0&1&3\end{pmatrix}}$

gleich ${}{\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}}$, ein normierter Erzeuger ist

${\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {14}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {14}}}\end{pmatrix}}.$

Zu ${}x=-{\frac {1}{2}}$ ist der Kern der Matrix

${\begin{pmatrix}-2&-1&0\\-1&-{\frac {5}{2}}&1\\0&1&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

gleich ${}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\1\\2\end{pmatrix}}$, ein normierter Erzeuger ist

${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}\\{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {21}}}\end{pmatrix}}.$

Wir bezeichnen diese Eigenvektoren mit ${}u_{1},u_{2},u_{3}$, sie bilden eine Orthonormalbasis. In den neuen Koordinaten ${}y_{1},y_{2},y_{3}$ bezüglich der neuen Orthonormalbasis schreibt sich die quadratische Form als

$y_{1}^{2}+3y_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{3}^{2}.$

Dies weiß man allein aufgrund der Eigenwerte, dazu muss man die Eigenvektoren nicht ausrechnen.

Zwischen den beiden Basen besteht die Beziehung

${}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {2}{\sqrt {14}}}&{\frac {3}{\sqrt {14}}}&-{\frac {1}{\sqrt {14}}}\\-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}&{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}&{\frac {1}{\sqrt {21}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\\e_{3}\end{pmatrix}}\,$

Nach Fakt ergibt sich für die Koordinaten (die Dualbasen) ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ bezüglich der Standardbasis (die eingangs mit $x,y,z$ bezeichnet worden waren) und den Koordinaten ${}y_{1},y_{2},y_{3}$ bezüglich der neuen Orthogonalbasis der Zusammenhang

${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}&{\frac {2}{\sqrt {14}}}&-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {3}{\sqrt {14}}}&{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {14}}}&{\frac {1}{\sqrt {21}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}y_{1}+{\frac {2}{\sqrt {14}}}y_{2}-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}y_{3}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}y_{1}+{\frac {3}{\sqrt {14}}}y_{2}+{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}y_{3}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}y_{1}-{\frac {1}{\sqrt {14}}}y_{2}+{\frac {1}{\sqrt {21}}}y_{3}\end{pmatrix}}\,.$