Quadratisches Polynom/R/3 Variablen/Variablenwechsel/1/Beispiel

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Wir betrachten die quadratische Form

Die zugehörige symmetrische Matrix ist

Wir möchten eine Orthonormalbasis des finden, bezüglich der die Form Diagonalgestalt besitzt. Dazu müssen wir die Eigenwerte (Hauptwerte) der Matrix bestimmen. Das charakteristische Polynom der Matrix ist

die Eigenwerte sind also

Die zugehörigen Hauptgeraden berechnen sich folgendermaßen.

Zu ist der Kern der Matrix

gleich , ein normierter Erzeuger ist

Zu ist der Kern der Matrix

gleich , ein normierter Erzeuger ist

Zu ist der Kern der Matrix

gleich , ein normierter Erzeuger ist

Wir bezeichnen diese Eigenvektoren mit , sie bilden eine Orthonormalbasis. In den neuen Koordinanten bezüglich der neuen Orthonormalbasis schreibt sich die quadratische Form als

Dies weiß man allein aufgrund der Eigenwerte, dazu muss man die Eigenvektoren nicht ausrechnen.

Zwischen den beiden Basen besteht die Beziehung

Nach Fakt ergibt sich für die Koordinaten (die Dualbasen) bezüglich der Standardbasis (die eingangs mit bezeichnet worden waren) und den Koordinaten bezüglich der neuen Orthogonalbasis der Zusammenhang