Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Begründungsfenstern/1

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Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

= hat modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
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=Reduktion des Zählers.
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=Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
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=, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz  kein Quadratrest modulo .
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= hat modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
=Reduktion des Zählers.
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= und  haben beide modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
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=Reduktion des Zählers.
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=, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz  ein Quadratrest modulo  (oder direkt ).
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Also ist ein Quadratrest modulo .