Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Begründungsfenstern/2

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

$\left({\frac {53}{311}}\right)$	=	$\left({\frac {311}{53}}\right)$$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
	=	$\left({\frac {46}{53}}\right)$Reduktion des Zählers. ||
	=	$\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. ||
	=	-$\left({\frac {23}{53}}\right)$$53=5\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$. ||
	=	-$\left({\frac {53}{23}}\right)$$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
	=	-$\left({\frac {7}{23}}\right)$Reduktion des Zählers. ||
	=	$\left({\frac {23}{7}}\right)$$7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. ||
	=	$\left({\frac {2}{7}}\right)$Reduktion des Zählers. ||
	=	$1$$7=-1\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$). ||

Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.