Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Begründungsfenstern/2

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Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

    =  
 hat modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
  =  
Reduktion des Zählers.
||
  =  
Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
||
  =  
-, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz  kein Quadratrest modulo .
||
  =  
- hat modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
  =  
-Reduktion des Zählers.
||
  =  
 und  haben beide modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
||
  =  
Reduktion des Zählers.
||
  =  
, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz  ein Quadratrest modulo  (oder direkt ).
||

Also ist ein Quadratrest modulo .