Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Begründungsfenstern und Referenzen

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Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

  = hat modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .[1] ||
=Reduktion des Zählers.[2] || ||
=Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.[3] || ||
=, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz  kein Quadratrest modulo .[4] || - ||
= hat modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .[5] -
=Reduktion des Zählers.[6] || - ||
= und  haben beide modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .[7] || ||
=Reduktion des Zählers.[8] || ||
=, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz  ein Quadratrest modulo  (oder direkt ).[9] || ||

Also ist ein Quadratrest modulo .


Erläuterungen[Bearbeiten]

  1.  hat modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
  2. Reduktion des Zählers.
  3. Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
  4. , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz  kein Quadratrest modulo .
  5.  hat modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
  6. Reduktion des Zählers.
  7.  und  haben beide modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
  8. Reduktion des Zählers.
  9. , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz  ein Quadratrest modulo  (oder direkt ).