Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Referenzen

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

$\left({\frac {53}{311}}\right)$	=^[1]	$\left({\frac {311}{53}}\right)$
	=^[2]	$\left({\frac {46}{53}}\right)$
	=^[3]	$\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$
	=^[4]	- $\left({\frac {23}{53}}\right)$
	=^[5]	- $\left({\frac {53}{23}}\right)$
	=^[6]	- $\left({\frac {7}{23}}\right)$
	=^[7]	$\left({\frac {23}{7}}\right)$
	=^[8]	$\left({\frac {2}{7}}\right)$
	=^[9]	$1$

Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$ .

↑ $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .
↑ Reduktion des Zählers.
↑ Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
↑ $53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ .
↑ $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .
↑ Reduktion des Zählers.
↑ $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ .
↑ Reduktion des Zählers.
↑ $7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ).