Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Wir können durch eine Variablentransformation erreichen, dass , und dann können wir durch teilen, und annehmen, dass ist. Wir können durch Verschieben annehmen, dass der Nullpunkt auf der Kurve liegt. Dann ist . Wenn zwei sich kreuzende Geraden vorliegen, so können wir durch Verschieben annehmen, dass der Nullpunkt nicht der Kreuzungspunkt ist (aber auf einer der Geraden liegt).

Die Idee ist, zu einem Punkt die Gerade durch und zu betrachten und den Schnitt dieser Geraden mit zu betrachten. Dieser Schnitt besteht aus maximal zwei Punkten (es sei denn, der Schnitt ist die volle Gerade), und da einer der Punkte ist, ist der andere Punkt, den es geben muss, eindeutig bestimmt.

Sei also gegeben. Die Gerade durch und durch besteht aus allen Punkten . Die Schnittpunkte mit erhält man also, wenn man in einsetzt und nach den Lösungen in sucht. Einsetzen ergibt die Bedingung

Die Lösung entspricht dem Nullpunkt, die wir schon kennen, die zweite Lösung ist

Dieser Ausdruck ist wohldefiniert, wenn ist (was maximal zwei Werte für ausschließt).

Zu gehört auf der Punkt

so dass

zu setzen ist.