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Für eine stetige Funktion
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
∫
a
b
d
x
f
(
x
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\,f(x)=F(b)-F(a)}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
F
(
x
)
=
∫
d
x
f
(
x
)
{\displaystyle F(x)=\int \mathrm {d} x\,f(x)}
Einige wichtige Stammfunktionen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Liste einfacher Stammfunktionen
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
0
{\displaystyle 0}
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
c
⋅
x
{\displaystyle c\cdot x}
x
{\displaystyle x}
1
2
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
1
3
x
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{3}}
x
n
{\displaystyle x^{n}}
1
n
+
1
x
n
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{n+1}}x^{n+1}}
sin
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sin} (x)}
−
cos
(
x
)
{\displaystyle -\operatorname {cos} (x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {cos} (x)}
sin
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sin} (x)}
e
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}
e
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}
Aus den Ableitungsregeln lassen sich auch einige Regeln für Integrale herleiten.
Linearität
∫
d
x
(
a
⋅
f
(
x
)
+
b
⋅
g
(
x
)
)
=
a
⋅
∫
d
x
f
(
x
)
+
b
⋅
∫
d
x
g
(
x
)
{\displaystyle \int \mathrm {d} x\,(a\cdot f(x)+b\cdot g(x))=a\cdot \int \mathrm {d} x\,f(x)+b\cdot \int \mathrm {d} x\,g(x)}
Partielle Integration
∫
d
x
f
(
x
)
⋅
g
′
(
x
)
=
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
−
∫
d
x
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
{\displaystyle \int \mathrm {d} x\,f(x)\cdot g'(x)=f(x)\cdot g(x)-\int \mathrm {d} x\,f'(x)\cdot g(x)}
Substitutionsregel I
∫
d
x
u
′
(
x
)
⋅
f
(
u
(
x
)
)
=
∫
d
u
f
(
u
)
{\displaystyle \int \mathrm {d} x\,u'(x)\cdot f(u(x))=\int \mathrm {d} u\,f(u)}
Substitutionsregel II
∫
d
x
f
(
x
)
=
∫
d
u
x
′
(
u
)
⋅
f
(
x
(
u
)
)
{\displaystyle \int \mathrm {d} x\,f(x)=\int \mathrm {d} u\,x'(u)\cdot f(x(u))}
Bestimme für
f
(
x
)
=
3
x
2
−
2
x
sin
(
x
)
+
1
−
3
cos
(
2
x
)
{\displaystyle f(x)=3x^{2}-2x\operatorname {sin} (x)+1-3\operatorname {cos} (2x)}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
∫
0
π
/
2
d
x
cos
(
x
)
⋅
sin
(
sin
(
x
)
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\mathrm {d} x\,\operatorname {cos} (x)\cdot \operatorname {sin} (\operatorname {sin} (x))}
Lösungen
Weitere Informationen können im Wikipedia-Artikel Riemann Integral gefunden werden. 
