Kurs:Quantencomputing/Vektoren

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Definiton

Dreidimensionale Punkte im Raum werden durch $x$-, $y$- und $z$-Koordinaten in der Form $P(x|y|z)$ angegeben. Stattdessen kann auch der verbindende Pfeil zum Ursprung
${\vec {p}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$
betrachtet werden. Dieser kann unter beibehalt von Länge und Richtung verschoben werden. Er wird als Vektor bezeichnet.

Es lassen sich auch zweidimensionale oder sogar $n$-dimensionale Vektoren mit reellen Komponenten betrachten. Die Menge der Letzteren wird als $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet.

Regeln

Die Länge eines Vektors wird als sein Betrag bezeichnet und ist durch
$|{\vec {p}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$
definiert.

Vektoren lassen sich komponentenweise addieren
${\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{x}+b_{x}\\a_{y}+b_{y}\\a_{z}+b_{z}\end{pmatrix}}$
Geometrisch entspricht dies einer Aneinanderreihung der Vektoren.

Ein Vektor lässt sich komponentenweise mit einer reellen Zahl $\lambda \in \mathbb {R}$ multiplizieren
$\lambda \cdot {\vec {p}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda \cdot x\\\lambda \cdot y\\\lambda \cdot z\end{pmatrix}}\quad \quad |\lambda \cdot {\vec {p}}|=|\lambda |\cdot |{\vec {p}}|$
Geometrisch handelt es sich um eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung am Ursprung abhängig vom Wert von $\lambda$.

Der Winkel $\phi$ zwischen zwei Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ lässt sich durch das Skalarpodukt
${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{pmatrix}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \operatorname {cos} (\phi )$
bestimmen. Damit kann auch der Betrag durch
${\vec {p}}\cdot {\vec {p}}=|{\vec {p}}|^{2}\quad \Rightarrow \quad |{\vec {p}}|={\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}$
ausgedrückt werden.

Aufgaben

Betrachte die Vektoren ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}}$ und ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}$ und die Zahlen $\lambda =3$, $\mu =-2$. Bestimme damit die beiden Ausdrücke $|\lambda {\vec {v}}+\mu {\vec {u}}|$ und ${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}$.

Lösungen

Siehe auch

• Diese Seite wurde im Kurs Quantencomputing verwendet.
• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Vektor gefunden werden.