Beweis
Die Abbildung ist wohldefiniert. Aus
Fakt
folgt, dass die Aussage für
richtig ist. Daraus ergibt sich, dass die Aussage für jeden Polynomring
richtig ist, da ein Morphismus nach
durch seine Komponenten und ein
-Algebrahomomorphismus durch die Einsetzungen für
gegeben ist. Es sei nun
und
-
![{\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\cong V({\mathfrak {a}})=V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc66c9b94657d8e16d4a304dbf46fc630b17b62)
Zu einem Morphismus
ist die Verknüpfung mit der abgeschlossenen Einbettung in den affinen Raum ebenfalls ein Morphismus. D.h. es liegt ein kommutatives Diagramm
-
vor, wobei die untere Abbildung bereits als Bijektion nachgewiesen wurde. Die vertikalen Abbildungen sind injektiv. Wir müssen daher zeigen, dass die untere Abbildung die oberen Teilmengen ineinander überführt.
Ein Morphismus
,
der
(als Abbildung)
durch
faktorisiert, ist auch ein Morphismus nach
. Die Morphismuseigenschaft ist nur für offene Mengen der Form
zu überprüfen,
. Es sei
ein Repräsentant für
. Dann ist
surjektiv und damit wird jedes Element aus
auf eine algebraische Funktion abgebildet.
Auf der rechten Seite des Diagramms gehört eine Algebrahomomorphismus genau dann zur oberen Menge, wenn
zum Kern gehört. Damit folgt die Aussage aus
Aufgabe.