Quotientenkörper/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss  ${}{\tilde {\varphi }}{\left(1/b\right)}=(\varphi (b))^{-1}$  und damit  ${}{\tilde {\varphi }}{\left(a/b\right)}=\varphi (a)(\varphi (b))^{-1}$  sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss. Da für  ${}b\neq 0$  auch  ${}\varphi (b)\neq 0$  ist und ${}K$ ein Körper ist, gibt es  ${}\varphi (b)^{-1}\in K$.  Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zur Wohldefiniertheit sei  ${}{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$,  also  ${}ad=bc$.  Dann ist auch  ${}\varphi (a)\varphi (d)=\varphi (b)\varphi (c)$  und durch Multiplizieren mit der Einheit ${}\varphi (b)^{-1}\varphi (d)^{-1}$ folgt

${}\varphi (a)(\varphi (b))^{-1}=\varphi (c)(\varphi (d))^{-1}\,.$

Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist

${}{\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {ad+cb}{bd}}\right)}\\&=\varphi (ad+bc)\varphi (bd)^{-1}\\&=(\varphi (a)\varphi (d)+\varphi (b)\varphi (c))\varphi (b)^{-1}\varphi (d)^{-1}\\&=\varphi (a)\varphi (b)^{-1}+\varphi (c)\varphi (d)^{-1}\\&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{b}}\right)}+{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {c}{d}}\right)}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage