Quotientenkörper/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren, muss  $\tilde{\phi }(1/b)=(\phi (b){)}^{-1}$  und damit  $\tilde{\phi }(a/b)=\phi (a)(\phi (b){)}^{-1}$  sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss. Da für  $b\ne 0$  auch  $\phi (b)\ne 0$  ist und $K$ ein Körper ist, gibt es  $\phi (b{)}^{-1}\in K$.  Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zur Wohldefiniertheit sei  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,  also  $ad=bc$.  Dann ist auch  $\phi (a)\phi (d)=\phi (b)\phi (c)$  und durch Multiplizieren mit der Einheit $\phi (b{)}^{-1}\phi (d{)}^{-1}$ folgt

$\phi (a)(\phi (b){)}^{-1}=\phi (c)(\phi (d){)}^{-1}.$

Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist

$\begin{array}{cc}\tilde{\phi }(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})& =\tilde{\phi }\left(\frac{ad+cb}{bd}\right)\\ & =\phi (ad+bc)\phi (bd{)}^{-1}\\ & =(\phi (a)\phi (d)+\phi (b)\phi (c))\phi (b{)}^{-1}\phi (d{)}^{-1}\\ & =\phi (a)\phi (b{)}^{-1}+\phi (c)\phi (d{)}^{-1}\\ & =\tilde{\phi }\left(\frac{a}{b}\right)+\tilde{\phi }\left(\frac{c}{d}\right).\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage